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Appendice: come si risolve il paradosso di Ehrenfest del disco rotante

Il paradosso di Ehrenfest: una panoramica (secondo ChatGPT 5.1 Thinking) In termini semplici, il paradosso di Ehrenfest afferma: Se prendi un disco “rigido” (nel senso classico) e lo metti in rotazione relativistica, la relatività speciale porta a una contraddizione apparente tra: la geometria euclidea, che impone C = 2πR ; e la contrazione di Lorentz applicata solo alla circonferenza (ma non al raggio). Questa “contraddizione” mostra due fatti fondamentali: i corpi perfettamente rigidi non possono esistere in relatività speciale; lo “spazio proprio” di osservatori in rotazione non è euclideo . Di seguito presento il ragionamento passo per passo. 1. Il setup del paradosso Consideriamo un disco: inizialmente in quiete in un sistema inerziale (il laboratorio); con raggio a riposo R 0 e circonferenza a riposo C 0 = 2πR 0 . Ora: mettiamo il disco in rotazione uniforme con velocità angolare ω ; al bordo del disco la velocità ...
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25 - Considerazioni finali sul modello esteso dell'elettrone

Il modello dell'elettrone esteso qui presentato non vuole porsi come modello alternativo alla descrizione quantistica dell'elettrone ma integrarsi con essa; ricordiamo infatti che lo spazio/tempo interno al modello , dove vengono descritti i campi e.m. interni dell'elettrone, non può essere rilevato in nessun modo nello spazio-tempo esterno classico dove a tutti gli effetti l'elettrone appare puntiforme, con l'esclusione della sola interazione gravitazionale (vedi il relativo paragrafo ). Tuttavia nel modello esteso dell'elettrone, il moto del tutto peculiare della carica elettrica puntiforme che circola intorno al centro di massa (posto per ipotesi in quiete nel riferimento dello spazio-tempo), dovrebbe trovare riscontri diretti o almeno indiretti nella descrizione del modello dell'elettrone quantistico, in particolare si dovrebbe individuare una qualche connessione formale con l'equazione di Dirac, che ricordiamo descrive l'equazione d'onda r...
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24 - Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico

Al fine di descrivere la struttura e.m. interna del modello esteso dell'elettrone abbiamo introdotto due sistemi di riferimento, uno di tipo spazio (in t=0 ) e l'altro di tipo tempo (in x,y=0 ), rispetto ai quali le cariche (elettrica oppure magnetica) si possono considerare per ipotesi in quiete e dove la velocità c è in realtà un parametro della teoria. Nota : in particolare nel paragrafo " Il centro di carica elettrica e magnetica " abbiamo descritto il modello dell'elettrone dove il centro di carica magnetica coincide col centro di massa. Grazie a questo espediente siamo riusciti a descrivere i campi e.m. interni del modello rispetto alla carica elettrica oppure magnetica rispettivamente, come abbiamo mostrato nel post " Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso ", dove la descrizione dei campi è di tipo spazio oppure di tipo tempo in modo esclusivo e complementare. Nota : ricordiamo che nello spazio-tempo il modello è delimitato da un t...
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23 - L'energia di punto zero dell'elettrone esteso

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Nel precedente post " L'energia potenziale del disco massivo " abbiamo mostrato che la massa m 0 dell'elettrone, distribuita sulla superficie del disco in rotazione, oltre ad avere una energia cinetica pari a E k = (1/3) m 0 c 2 (vedi eq.21.11 ), possiede una energia potenziale E p = -(1/2) m 0 c 2 (vedi eq.22.8 ) che mantiene confinata la configurazione massiva del disco in rotazione. Nota : ricordiamo che la stabilità è stata assunta come condizione necessaria per derivare l'energia potenziale. Poiché abbiamo supposto che il centro di massa del disco coincida con la carica magnetica che è per ipotesi in quiete nel sistema di riferimento di tipo spazio (vedi il post " Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso "), allora in questo riferimento il centro di massa dell'elettrone si trova in uno stato di energia cinetica nulla (ricordiamo che c nello spazio/tempo va inteso come un parametro del modello e non è la velocità della cari...
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22 - L'energia potenziale del disco massivo

Dopo che abbiamo derivato l'energia cinetica del disco in rotazione, ricaviamo ora la sua energia potenziale utilizzando il noto teorema del viriale (versione relativistica): quindi tratteremo per ipotesi la distribuzione di massa superficiale dell'elettrone* come un sistema stabile a N particelle passando poi al continuo grazie alla densità di massa. Nota : anche nel precedente post abbiamo introdotto, prima di passare al continuo, delle ipotetiche particelle elementari di massa m k =m 0 /N che compongono il disco in rotazione. Ricordiamo che il classico teorema del viriale (non relativistico), afferma la seguente relazione tra i valori medi di un sistema stabile a molte particelle (nel nostro caso la media è calcolata sul moto periodico di rotazione del disco): <E k >=-(1/2)∑ i < F i R i >     (22.1) dove < E k > è la media nel tempo dell'energia cinetica totale delle particelle che costituiscono il sistema, mentre F i è la forza che agisc...
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21 - L'energia cinetica del disco in rotazione

Come abbiamo ipotizzato nel post " Il momento angolare dell'elettrone esteso ", il disco massivo del modello dell'elettrone ruota con una velocità angolare w=2π/T (vedi eq.4.1 ) e quindi ha un momento angolare pari a ( eq.4.3 ): S=wI dove I=(1/2)m 0 r 2 (vedi eq.4.2 ) è il momento di inerzia del disco supposto rigido e di massa uniforme m 0 . Perciò essendo T= λ /c ( eq. 2.2 ) il periodo di rotazione del disco, m 0 =h/λc ( eq.2.3 ) la massa e r=λ/2π ( eq.2.4 ) il suo raggio, sostituendo i relativi valori si ottiene (vedi eq.4.4 ): S=(1/2)h/2π che, come abbiamo già visto, rappresenta il momento angolare o spin dell'elettrone*. Vogliamo ora stabilire com'è distribuita la massa del disco quando questo è per ipotesi in quiete sapendo che, una volta in rotazione a velocità c , si deve riottenere relativisticamente una massa uniforme m 0 di densità superficiale costante pari a ρ 0 =m 0 /πr 2      (21.1) dove πr 2 è la superficie del disco di raggio r (ve...
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20 - La stabilità e.m. del modello esteso

Nel post " Il circuito e.m. equivalente del modello " abbiamo mostrato come il modello esteso dell'elettrone può essere rappresentato da un circuito elettrico equivalente, costituito da un generatore di corrente continua I a cui è connesso, in sovrapposizione elettromagnetica, un circuito risonante LC di corrente alternata I(t) . Nota : ciò significa che la corrente dinamica I(t) del circuito LC si sovrappone fisicamente a quella costante I del generatore. Inoltre nel post " L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto " abbiamo descritto l'interazione e.m. dell'elettrone con lo spazio vuoto; tale interazione modifica l'impedenza caratteristica Z del circuito LC che è stata così definita (vedi eq.17.17 ): Z=(L/C) 1/2 =(1/4π)(µ/ε) 1/2 . Infatti questa impedenza viene posta in parallelo all'impedenza  Z 0 caratteristica dello spazio vuoto (vedi eq.18.4 ): Z 0 = ( L 0 / C 0 ) 1/2 = (1/4π)(µ 0 /ε 0 ) 1/2 da cui segue che il valor...
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19 - L'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso

Come abbiamo mostrato nel precedente post " L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto " l'energia complessiva del modello esteso dell'elettrone, di massa misurata m , è definita dalla seguente relazione (vedi eq.18.11 ): mc 2 =m 0 c 2 +eV /(1+2π/ α ) dove m 0 c 2 è l'energia di massa nuda * mentre eV /(1+2π/ α ) è l'energia del campo e.m. in interazione col vuoto. Si osservi che possiamo riscrivere la relazione precedente anche nel modo seguente: mc 2 =m 0 c 2 (1+1 /(1+2π/ α ))     (19.1) essendo ø m I = m 0 c 2 e ø m I =eV (vedi la eq.3.2 e la eq.10.9 ) e quindi eV=m 0 c 2 . Ma ciò significa, riprendendo i concetti che abbiamo introdotto nel post " Perché un modello esteso dell'elettrone ", che l'energia classica del campo elettrostatico E generato dalla carica elettrica pari a (vedi eq.1.1 e eq.1.3 ): (1/2) ∫ ε 0 E 2 dV= e 2 /8πε 0 r (dove r è il raggio della carica), non sia stata considerata** nel computo dell'...
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