Appendice: come si risolve il paradosso di Ehrenfest del disco rotante

Appendice — Il disco rotante e il paradosso di Ehrenfest
(considerazioni svolte sul modello da ChatGPT 6)

Abstract

Il paradosso di Ehrenfest mostra che un disco materiale non può essere portato dalla quiete alla rotazione conservando inalterate tutte le proprie lunghezze locali. Non implica, tuttavia, che la circonferenza geometrica di un disco già in rotazione si annulli per contrazione di Lorentz. Nel modello esteso dell’elettrone il raggio del disco resta definito nel riferimento dell’asse, mentre al bordo la carica puntiforme e priva di massa si muove, per ipotesi, a velocità c: in quel punto non esiste un riferimento materiale comovente. Assumendo la distribuzione di massa-energia in rotazione e la velocità angolare previste dal modello, il contributo del disco al momento angolare risulta S = ℏ/2. Resta da verificare se l’interazione interna possa sostenere questa rotazione e se eventuali campi apportino ulteriori contributi al momento angolare totale.

Introduzione

Il paradosso di Ehrenfest nasce chiedendosi se un disco materiale possa essere portato dalla quiete alla rotazione conservando la propria rigidità nel senso relativistico. Consideriamo un disco inizialmente in quiete, di raggio R₀ e circonferenza C₀ = 2πR₀. Dopo averlo messo in rotazione, indichiamo con R il suo raggio misurato nel riferimento inerziale in cui l’asse resta fermo.

Nel ragionamento originale di Ehrenfest sembrano seguire due conclusioni incompatibili:

• Gli elementi materiali disposti lungo la circonferenza si muovono nella direzione della propria lunghezza. Se conservassero la lunghezza propria iniziale, risulterebbero contratti per l’osservatore fermo rispetto all’asse. La circonferenza dovrebbe allora essere minore di quella iniziale: 2πR < 2πR₀, cioè R < R₀.

• Gli elementi disposti lungo un raggio si muovono perpendicolarmente alla propria lunghezza. Non subendo una contrazione lungo la direzione radiale, richiederebbero R = R₀.

Il paradosso consiste nell’ottenere contemporaneamente R < R₀ e R = R₀. Mostra che le ipotesi usate nel ragionamento non possono valere tutte insieme: non si può portare un disco dalla quiete alla rotazione mantenendo in ogni istante inalterate tutte le lunghezze proprie locali. Ehrenfest non sostiene che un disco reale, ruotando, si riduca a un punto.

Un disco già in rotazione uniforme

Occorre distinguere il processo con cui si mette in rotazione un disco dal caso di un disco già in rotazione uniforme. Per descrivere quest’ultimo, indichiamo con r il suo raggio esterno e con R la distanza di un punto qualsiasi dall’asse, dove 0 ≤ R ≤ r.

Nel riferimento inerziale in cui l’asse resta fermo, il bordo ha la circonferenza geometrica C = 2πr. Questa relazione descrive il cerchio formato dalle posizioni dei punti del bordo a un medesimo istante in quel riferimento.

La velocità di un punto del disco è v(R) = ωR, dove ω è la velocità angolare. Se v(R) < c, per quel punto materiale esiste un riferimento inerziale istantaneamente comovente. Non esiste, però, un unico riferimento inerziale in quiete con l’intero disco: la velocità cambia da punto a punto. Possiamo usare coordinate che ruotano con il disco, ma esse costituiscono un riferimento non inerziale.

Se anche al bordo vale ωr < c, sommando le lunghezze misurate localmente dagli osservatori corotanti si ottiene:

C_rot = 2πr / √(1 − ω²r²/c²).

Questo valore è maggiore di 2πr. Non contraddice la misura nel riferimento dell’asse: C_rot e C derivano da procedure diverse, effettuate rispettivamente mediante osservatori corotanti e nel riferimento inerziale dell’asse. La contrazione di Lorentz si applica localmente al confronto fra la lunghezza di un segmento materiale e quella misurata da un osservatore rispetto al quale il segmento si muove. Non permette di prendere la circonferenza iniziale del disco, dividerla semplicemente per il fattore di Lorentz e chiamare il risultato «circonferenza del disco in rotazione».

Il caso del modello esteso dell’elettrone

Nel modello si pone r = λ/2π e si associa alla rotazione il periodo T = λ/c. Ne segue ω = 2π/T = c/r e, assumendo questa legge di rotazione per il disco, v(R) = cR/r. Per R < r la velocità è inferiore a c, mentre al bordo risulta v(r) = c.

Nel modello, la carica elettrica puntiforme e priva di massa percorre la circonferenza del bordo. La massa è invece distribuita sul disco. Come ipotizzato nel post 21, la densità di massa del disco in quiete è ρ_quiete(R) = ρ₀√(1 − R²/r²) e tende a zero per R → r; la densità di massa-energia attribuita al disco in rotazione è invece ρ₀ = m₀/(πr²). Quest’ultima resta finita e uniforme, così come il valore totale m₀ previsto dal modello.

Al bordo non possiamo collocare una fila di osservatori materiali solidali con il disco: un osservatore materiale non può muoversi a c. Non possiamo quindi sostituire ωr = c nella formula di C_rot e interpretare il risultato come una lunghezza propria del bordo. Il denominatore tenderebbe a zero proprio dove viene meno il riferimento localmente comovente richiesto per quella misura.

Nel riferimento inerziale dell’asse resta definita la circonferenza geometrica 2πr = λ. Il fatto che la velocità della carica sia tangente alla circonferenza non implica che il raggio della sua traiettoria si contragga, né che il disco diventi puntiforme per contrazione di Lorentz. D’altra parte, il fatto che la carica sia puntiforme significa che non le attribuiamo la lunghezza propria tangenziale di un segmento materiale.

Queste precisazioni evitano di applicare impropriamente al moto della carica il paradosso di Ehrenfest. Non dimostrano ancora che la distribuzione di massa del disco possa sostenere la rotazione ipotizzata. Per stabilirlo occorrerebbe descrivere le forze responsabili del moto, le eventuali tensioni interne e il comportamento delle grandezze fisiche avvicinandosi al bordo.

Le relazioni relativistiche utilizzate in questa appendice valgono per una descrizione nello spazio-tempo ordinario. Se lo spazio/tempo interno del modello obbedisce a regole metriche differenti, tali regole devono essere specificate prima di stabilire come vi si misurino le lunghezze. In particolare, la relazione geometrica 2πr = λ nel riferimento dell’asse non determina, da sola, le misure che compirebbero eventuali osservatori interni al modello.

Il momento angolare del disco: conclusione

Il paradosso di Ehrenfest non impedisce, di per sé, di calcolare il momento angolare di una distribuzione di massa già in rotazione uniforme. Nel modello assumiamo che, nel riferimento dell’asse, gli elementi del disco seguano la legge v(R) = ωR e che la densità superficiale della massa-energia in rotazione sia uniforme e pari a ρ₀ = m₀/(πr²), come definito nel post 21. Sommando i contributi ωR² dm di tutti gli elementi si ottiene S = (1/2)m₀r²ω. Con ω = c/r e r = ℏ/(m₀c) risulta S = ℏ/2. La formula ha la stessa forma di quella del disco rigido classico, ma qui descrive una distribuzione in rotazione relativistica: la massa-energia m₀ e la sua densità sono quelle attribuite al disco in rotazione dal modello.

Questo risultato non richiede che le energie associate alla rotazione e al legame siano trascurabili. Nei post 21 e 22 esse valgono, rispettivamente, Eₖ = (1/3)m₀c² ed Eₚ = −(1/2)m₀c². Se il legame ipotizzato nel post 22 è rappresentato esclusivamente da forze centrali fra coppie di elementi di massa, i momenti delle forze interne si compensano a coppie: l’energia potenziale, pur essendo rilevante, non aggiunge in questa descrizione un momento angolare autonomo a quello degli elementi del disco.

Possiamo quindi concludere che S = ℏ/2 è coerente con le ipotesi cinematiche e con la distribuzione di massa-energia adottate nel modello. La conclusione riguarda il sistema idealizzato così definito; per attribuire lo stesso valore al momento angolare totale dell’elettrone esteso occorre verificare che il legame interno sostenga effettivamente la rotazione prevista e che gli eventuali campi dinamici non apportino un ulteriore contributo.

In definitiva la coincidenza con la formula del disco rigido classico riguarda il calcolo del momento angolare della configurazione stazionaria ipotizzata. Non dimostra che il disco sia fisicamente indeformabile, né che possa essere portato dalla quiete alla rotazione conservando le distanze proprie; resta da verificare quali interazioni mantengano stabile la distribuzione di massa assunta.