12 - Le soluzioni delle equazioni dei campi e.m.

Nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" abbiamo introdotto le equazioni che legano tra loro i campi e.m. del modello; in questo post ricaviamo le soluzioni e calcoliamo i valori dei campi elettrico E e magnetico B.
Nota: ricordiamo che per ipotesi i valori dei campi e.m. sono definiti in generale dalla funzione F(x,t)=F¢(x,t) (vedi eq.8.1) dove F è il valore del modulo o valore sperimentale (vedi il paragrafo "I valori dei campi elettromagnetici del modello").

Consideriamo dapprima le eq.11.11 e eq.11.13 di tipo spazio (in t=0) e poi di seguito valutiamo la eq.11.12 e la eq.11.14 di tipo tempo (con x,y=0), rispettivamente nel centro di carica elettrica oppure magnetica:

Campo statico (tipo spazio: t=0)
- Centro di carica elettrica (vedi eq.11.11):
J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)
dove ricordiamo che J(y)=V(y)/S (vedi eq.11.2) e quindi secondo la definizione data di Rotore (vedi eq.8.9) si ha: 
J(y)=(1/i2π)rotE(x)=E(y)/λ.     (12.1)
Perciò valendo la relazione tra moduli J=V/S=E/λ si ottiene per il valore del modulo di E(y):
E=Vλ/S=(øm/T)λ/S=cøm/S=ø/S     (12.2)
essendo come abbiamo visto V=øm/T (vedi eq.10.3), λ/T=c (eq.2.2) e cøm=ø (eq.9.5).
Nota: ricordiamo che il valore del campo elettrico E=ø/S è già stato introdotto come definizione con la eq.9.6.

Da quanto abbiamo sopra ricavato e grazie ai valori di c=299.792.458m/s, øm=h/e=4,136x10-15 Wb (vedi eq.3.3), ø=ømc=1,240x10-6 Vm (vedi eq.9.5) e S=πr2=π(h/2πm0c)2=4,687x10-25 m2 (vedi eq.2.5) si ottiene*:
E=ø/S=2,645x1018 V/m.     (12.3)
Nota: la massa m0 è la massa nuda dell'elettrone che, come vedremo, è leggermente più piccola di quella misurata (pari a 9,109×10−31 kg) ma che abbiamo utilizzato sopra nel computo di S (che quindi è leggermente più grande).

- Centro di carica magnetica (vedi eq.11.13):
Jm(x)=(1/i2π)rotB(y,t)
dove per definizione Jm(x)=Vm(x)/S (vedi eq.11.4) e di nuovo secondo la definizione di Rotore (eq.8.9) si ha: 
Jm(x)=(1/i2π)rotB(y,t)=B(x)/λ.    (12.4)
Quindi risultando per i moduli Jm=Vm/S=B/λ si ottiene per il valore del modulo di B(x):
B=Vmλ/S=(øm/λ)λ/S=øm/S     (12.5)
essendo come abbiamo visto Vm=øm/λ (vedi eq.10.5).
Nota: ricordiamo che il valore del campo magnetico B=øm/S era già stato definito, ma non ricavato, con la eq.5.1.

Inoltre essendo (come ottenuto sopra) per i valori di øm=4,136x10-15 Wb e S=4,687x10-25 m2 si ottiene**:
B=øm/S=8,824x109 Wb/m2.     (12.6)
Nota: ricordiamo la relazione 1 Wb/m2=1 T dove il simbolo T sta per Tesla (unità di misura del Sistema Internazionale).

Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0)
- Centro di carica elettrica (vedi eq.11.12):
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t
dove di nuovo J(t)=V(t)/S (eq.11.2) e inoltre secondo la definizione nel modello di Derivata (vedi eq.8.8) si ha: 
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t=B(t)/T.     (12.7)
Quindi risultando J=V/S=B/T si ottiene per il valore del modulo di B(t):
B=VT/S=(øm/T)T/S=øm/S=ø/cS=E/c     (12.8)
essendo come già ricordato sopra V=øm/T, øm=ø/c mentre E=ø/S (vedi eq.12.2).

- Centro di carica magnetica (vedi eq.11.14):
Jm(t)=(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t
dove di nuovo risulta Jm(t)=Vm(t)/S (eq.11.4) e sempre secondo la definizione di Derivata (eq.8.8) si ha: 
Jm(t)=(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t=E(t)/Tc2.     (12.9)
Perciò essendo Jm=Vm/S=E/Tc2 si ottiene per il valore del modulo di E(t):
E=VmTc2/S=(øm/λ)Tc2/S=ømc/S=cB     (12.10)
dove come al solito Vm=øm/λ, λ=cT e inoltre B=øm/S (vedi eq.12.5).
Nota: perciò la relazione E=cB già introdotta con la eq.9.7 viene confermata dalle equazioni dei campi e.m. dinamici.

(*) I valori sperimentali riportati in questo post sono tutti tratti dal Particle Data Group aggiornato al 2020.
(**) I valori molto alti dei campi e.m. E e B sono in effetti dovuti alla piccola dimensione della superficie S≈10-25 m2 dell'elettrone (vedi eq.2.5): tuttavia è proprio grazie alla minima dimensione estesa del modello che otteniamo dei valori finiti per i campi elettromagnetici (come ci eravamo ripromessi nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

INDICE DEI POST

Commenti

Posta un commento

Post popolari in questo blog

15 - L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso

Immagine
Come descritto nel post " Carica puntiforme e massa estesa " il modello dell'elettrone presuppone che la massa sia distribuita in modo uniforme sul disco rotante di raggio r= λ /2π (vedi eq.2.4 ). Inoltre, come già anticipato (vedi " Il momento magnetico dell'elettrone esteso " e " Il momento angolare dell'elettrone esteso "), si suppone che il disco massivo venga sempre misurato nello spazio-tempo classico in soli due stati ( up e down )* rispetto al proprio asse di simmetria (quello di rotazione): ciò suggerisce che anche l'interazione gravitazionale si propaghi lungo l'asse di rotazione del modello. Nota : mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si propaga dal centro di carica elettrica (vedi il post precedente ). Supponiamo quindi che l'interazione gravitazionale si propaghi sempre lungo l'asse Y di rotazione del disco elementare: in figura mostriamo la sovrapposizione di alcuni degli infiniti stati di spin
Continua a leggere

25 - Considerazioni finali sul modello esteso dell'elettrone

Il modello dell'elettrone esteso qui presentato non vuole porsi come modello alternativo alla descrizione quantistica dell'elettrone ma integrarsi con essa; ricordiamo infatti che lo spazio/tempo interno al modello , dove vengono descritti i campi e.m. interni dell'elettrone, non può essere rilevato in nessun modo nello spazio-tempo esterno classico dove a tutti gli effetti l'elettrone appare puntiforme, con l'esclusione della sola interazione gravitazionale (vedi il relativo paragrafo ). Tuttavia nel modello esteso dell'elettrone, il moto del tutto peculiare della carica elettrica puntiforme che circola intorno al centro di massa (posto per ipotesi in quiete nel riferimento dello spazio-tempo), dovrebbe trovare riscontri diretti o almeno indiretti nella descrizione del modello dell'elettrone quantistico, in particolare si dovrebbe individuare una qualche connessione formale con l'equazione di Dirac, che ricordiamo descrive l'equazione d'onda r
Continua a leggere

11 - Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso

Immagine
In questo post introduciamo le equazioni che legano i campi e.m. che definiscono la configurazione del modello esteso, relative al centro di carica elettrica oppure magnetica nei riferimenti dello spazio/tempo; mentre nel prossimo post ricaveremo le soluzioni di queste equazioni, cioè i valori del campo elettrico E e magnetico B . Nota : di seguito utilizzeremo le classiche equazioni simmetriche di Maxwell adattandole al modello esteso definito nello spazio/tempo (vedi anche la nota (*) del post " Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico "). Come mostreremo di seguito, il sistema di equazioni che ora introdurremo descrive il modello e.m. esteso di due diverse configurazioni: quella dell'elettrone e quella del monopolo magnetico. In funzione del riferimento fissato come centro di massa (che è sempre un riferimento di tipo spazio), possiamo descrivere i campi e.m. di una o dell'altra particella*. Nota : nel post " Il centro di carica elettrica
Continua a leggere