12 - Le soluzioni delle equazioni dei campi e.m.

Nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" abbiamo introdotto le equazioni che legano tra loro i campi e.m. del modello; in questo post ricaviamo le soluzioni e calcoliamo i valori dei campi elettrico E e magnetico B.
Nota: ricordiamo che per ipotesi i valori dei campi e.m. sono definiti in generale dalla funzione F(x,t)=F¢(x,t) (vedi eq.8.1) dove F è il valore del modulo o il valore sperimentale (vedi il paragrafo "I valori dei campi elettromagnetici del modello").

Consideriamo dapprima le eq.11.11 e eq.11.13 di tipo spazio (in t=0) e poi di seguito valutiamo la eq.11.12 e la eq.11.14 di tipo tempo (con x,y=0), rispettivamente nel centro di carica elettrica oppure magnetica:

Campo statico (tipo spazio: t=0)
- Centro di carica elettrica (vedi eq.11.11):

J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)

dove ricordiamo che J(y)=V(y)/S (vedi eq.11.2) e quindi secondo la definizione data di Rotore (vedi eq.8.9) si ha: 

J(y)=(1/i2π)rotE(x)=E(y)/λ.     (12.1)

Perciò valendo la relazione tra moduli J=V/S=E/λ si ottiene per il valore del modulo di E(y):

E=Vλ/S=(ø_m/T)λ/S=cø_m/S=ø/S     (12.2)

essendo come abbiamo visto V=ø_m/T (vedi eq.10.3), λ/T=c (eq.2.2) e cø_m=ø (eq.9.5).
Nota: ricordiamo che il valore del campo elettrico E=ø/S è già stato introdotto, ma come definizione, con la eq.9.6.

Da quanto abbiamo sopra ricavato e grazie ai valori di c=299.792.458m/s, ø_m=h/e=4,136x10^-15 Wb (vedi eq.3.3), ø=ø_mc=1,240x10^-6 Vm (vedi eq.9.5) e S=πr²=π(h/2πm₀c)²=4,687x10^-25 m² (vedi eq.2.5) si ottiene*:

E=ø/S=2,645x10¹⁸ V/m.     (12.3)

Nota: la massa m₀ è la massa nuda dell'elettrone che, come vedremo, è leggermente più piccola di quella misurata (pari a 9,109×10⁻³¹ kg) che però abbiamo utilizzato sopra nel computo di S (che quindi è leggermente più grande).

- Centro di carica magnetica (vedi eq.11.13):

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)

dove per definizione J_m(x)=V_m(x)/S (vedi eq.11.4) e di nuovo secondo la definizione di Rotore (eq.8.9) si ha: 

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)=B(x)/λ.    (12.4)

Quindi risultando per i moduli J_m=V_m/S=B/λ si ottiene per il valore del modulo di B(x):

B=V_mλ/S=(ø_m/λ)λ/S=ø_m/S     (12.5)

essendo come abbiamo visto V_m=ø_m/λ (vedi eq.10.5).
Nota: ricordiamo che il valore del campo magnetico B=ø_m/S era già stato definito, ma non ricavato, con la eq.5.1.

Inoltre essendo (come ottenuto sopra) per i valori di ø_m=4,136x10^-15 Wb e S=4,687x10^-25 m² si ottiene**:

B=ø_m/S=8,824x10⁹ Wb/m².     (12.6)

Nota: ricordiamo la relazione 1 Wb/m²=1 T dove il simbolo T sta per Tesla (unità di misura del Sistema Internazionale).

Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0)
- Centro di carica elettrica (vedi eq.11.12):

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t

dove di nuovo J(t)=V(t)/S (eq.11.2) e inoltre secondo la definizione nel modello di Derivata (vedi eq.8.8) si ha: 

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t=B(t)/T.     (12.7)

Quindi risultando J=V/S=B/T si ottiene per il valore del modulo di B(t):

B=VT/S=(ø_m/T)T/S=ø_m/S=ø/cS=E/c     (12.8)

essendo come già ricordato sopra V=ø_m/T, ø_m=ø/c mentre E=ø/S (vedi eq.12.2).

- Centro di carica magnetica (vedi eq.11.14):

J_m(t)=(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t

dove di nuovo risulta J_m(t)=V_m(t)/S (eq.11.4) e sempre secondo la definizione di Derivata (eq.8.8) si ha: 

J_m(t)=(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t=E(t)/Tc².     (12.9)

Perciò essendo J_m=V_m/S=E(t)/Tc² si ottiene per il valore del modulo di E(t):

E=V_mTc²/S=(ø_m/λ)Tc²/S=ø_mc/S=cB     (12.10)

dove come al solito V_m=ø_m/λ, λ=cT e inoltre B=ø_m/S (vedi eq.12.5).
Nota: perciò la relazione E=cB già introdotta con la eq.9.7 viene confermata dalle equazioni dei campi e.m. dinamici.

(*) I valori sperimentali riportati in questo post sono tutti tratti dal Particle Data Group aggiornato al 2020.
(**) I valori molto alti dei campi e.m. E e B sono in effetti dovuti alla piccola dimensione della superficie S≈10^-25 m² dell'elettrone (vedi eq.2.5): tuttavia è proprio grazie alla dimensione estesa del modello che otteniamo dei valori finiti per i campi elettromagnetici (come ci eravamo ripromessi nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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