8 - I valori dei campi elettromagnetici del modello

Nel precedente post abbiamo accennato al fatto che i valori dei campi e.m. del modello sono descritti da vettori rotanti (definiti nello spazio oppure nel tempo); ma anche i valori della carica elettrica/magnetica o del flusso elettrico/magnetico e tutti i valori da essi derivati, sono descritti per ipotesi dalla seguente funzione complessa*:

F(x,t)=F¢(x,t)     (8.1)

dove con F indichiamo il modulo, che ha significato fisico e quindi è sperimentabile, mentre l'argomento di

¢(x,t)=e^i(wt+kx)     (8.2)

cioè (wt+kx) indica la fase del vettore rotante (che per ipotesi non ha effetti rivelabili sperimentalmente).
Nota: di seguito indicheremo ¢(x,t) come il termine di fase di F(x,t) sottintendendo che ci riferiamo al suo argomento.

In particolare risulta per la velocità angolare

w=2π/T     (8.3)

e per il numero d'onda

k=2π/λ     (8.4)

dove i valori della lunghezza d'onda λ=2πr (vedi eq.2.4) con r=h/2πm₀c (eq.2.5) e del periodo T=λ/c (eq.2.2) sono stati definiti nel post "Carica puntiforme e massa estesa".
Nota: quanto vedremo in questo post vale ovviamente anche per la funzione F(y,t)=F¢(y,t) per la variabile y.

Tuttavia la definizione di F(x,t) va contestualizzata nell'ambito dello spazio/tempo introdotto nel precedende post.
Osseviamo innanzitutto che se poniamo ¢(t)=e^iwt e inoltre ¢(x)=e^ikx possiamo riscrivere la eq.8.2 come

¢(x,t)=¢(t)¢(x)     (8.5)

perciò per i valori del modello descritti rispetto al riferimento di tipo tempo si ha (ponendo x=0 in F(x,t)):

F(t)=F¢(t)     (8.6)

che denominiamo vettore rotante tipo tempo, mentre per quelli di tipo spazio risultà (posto t=0):

F(x)=F¢(x)     (8.7)

che chiamiamo vettore rotante tipo spazio, dove ¢(x) e ¢(t) definiscono il verso di rotazione di F (cioè dall'asse Y verso Z).
Nota: sull'asse Z vengono rappresentati per definizione i valori immaginari di ¢(x)=e^ikx=cos(kx)+isin(kx)=F_y(x)+iF_z(x) nel riferimento di tipo spazio e di ¢(t)=e^iwt=cos(wt)+isin(wt)=F_y(t)+iF_z(t) nel riferimento di tipo tempo.

Si osservi che abbiamo posto x=0 nella definizione F(x,t)=Fe^i(wt+kx) (vedi eq.8.1 ed eq.8.2) per ottenere F(t)=F¢(t) (eq.8.6) nel sistema di tipo tempo e inoltre si è posto t=0 per ottenere F(x)=F¢(x) (eq.8.7) nel riferimento di tipo spazio; tuttavia ciò non deve farci dimenticare che nel primo sistema lo spazio non è affatto definito mentre nel secondo riferimento è il tempo a non essere definito (poiché per definizione siamo nello spazio/tempo: cioè spazio oppure tempo in modo esclusivo).

Ciò significa che non possiamo fissare una precisa fase del vettore rotante F(x,t) in x=0 (oppure in t=0) se x (oppure t) non è definito, ma dobbiamo considerare tutte le possibili direzioni del vettore (come vedremo meglio in un prossimo post).

Nota: in pratica la costante di fase ø della fase (wt+kx+ø) assume tutti i valori possibili nello spazio/tempo.

Introduciamo a questo punto i seguenti operatori detti derivata DerF(x,t) e rotore RotF(x,t) validi per il modello esteso**:

- Operatore Derivata: DerF(x,t) definito rispetto al tempo (per semplicità poniamo x,y=0):

DerF(x,t)=(1/i2π)∂F(x,t)/∂t=F(y,t)/T     (8.8)

dove oltre al fattore (1/i2π), compare ∂F(x,t)/∂t che è la classica derivata parziale rispetto a t;
- Operatore Rotore: RotF(x,t) definito rispetto allo spazio (qui invece poniamo t=0):

RotF(x,t)=(1/i2π)rotF(x,t)=F(y,t)/λ     (8.9)

dove rotF(x,t) è il rotore classico***, cioè rotF(x,t)=-(j∂F_z/∂x-k∂F_y/∂x) (j e k sono i versori lungo Y e Z rispettivamente).
Nota: si noti che abbiamo posto per entrambi gli operatori lo scambio di variabile di x con y (e viceversa): è per questo motivo che abbiamo lasciato indicate le variabili x, y oppure t anche se sono state fissate rispettivamente nel punto 0.

Vediamo subito un esempio, definiamo la carica elettrica secondo la eq.8.1:

e(x,t)=e¢(x,t)     (8.10)

dove ¢(x,t) è la fase (come indicato nella eq.8.2) mentre e rappresenta il modulo della carica elettrica.
Se ora vogliamo derivare la corrente elettrica, questa è così definita (nel riferimento di tipo tempo, posto x,y=0):

I(y,t)=DerF(x,t)     (8.11)

perciò si ottiene (secondo la eq.8.8):

I(y,t)=(1/i2π)∂e(x,t)/∂t=e(y,t)/T     (8.12)

dove I(y,t) rappresenta il vettore rotante della corrente, perpendicolare a quello della carica e(x,t) (avendo invertito x con y), come mostrato in figura nel riferimento di tipo tempo (posto x,y=0):

 

In figura abbiamo mostrato il riferimento della carica elettrica di tipo tempo dove I(y,t) ruota intorno all'asse Y mentre e(x,t) ruota intorno all'asse X (vedi la configurazione completa illustrata nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica").

Inoltre essendo per definizione (secondo la eq.8.1): I(y,t)=I¢(y,t) e e(y,t)=e¢(y,t) si ottiene dalla eq.8.12:

I=e/T     (8.13)

e quindi essendo I¢(y,t)=(e/T)¢(y,t) ciò significa che ¢(y,t) indica lo stesso verso di rotazione tra carica e corrente.
Nota: la carica può ruotare contemporaneamente sia intorno all'asse X che Y, quindi scriveremo e(x,t) oppure e(y,t) in relazione al tipo di rotazione considerata (caratteristica valida come vedremo anche per il flusso: ø_m(x,t) e ø_m(y,t)).

Infine, poiché nel paragrafo "Il modello del positrone esteso" applicheremo il segno meno al termine di fase ¢(x,t) è utile stabilire, in generale, i versi di rotazione dei vettori che per ipotesi sono determinati proprio dal segno della fase.

Poniamo perciò, per il termine di fase, la seguente relazione di equivalenza (nel riferimento di tipo spazio):

-¢(x)<=>¢(-x)     (8.14)

dove cioè il segno meno davanti al termine di fase è equivalente ad una inversione di rotazione intorno all'asse X.

E per simmetria è equivalente definire nel riferimento di tipo tempo:

-¢(t)<=>¢(-t)     (8.15)

dove il segno meno davanti al termine di fase inverte il verso di rotazione rispetto a t.

Nota: è ovvio che le stesse relazioni valgono in modo identico per la variabile y e quindi per la rotazione intorno all'asse Y.

(*) Il vettore rotante attorno all'asse X oppure all'asse Y del relativo riferimento è rappresentato da una funzione complessa dove i è l'unità immaginaria posta per definizione lungo l'asse Z.
(**) Le operazioni di Derivazione e di Rotore qui introdotte sono analoghe a quelle classiche, tranne che per il fattore (1/i2π) e soprattutto per lo scambio di variabile x con y (e viceversa): come vedremo in un prossimo post questa inversione di variabili ci permetterà di definire, ad esempio, i valori di J(t) (vedi eq.11.12) e J_m(x) (eq.11.13) lungo la spira di corrente λ.
(***) In realtà il rotore classico applicato a F(x)=Fe^ikx dà come risultato: rotF(x)=-ikFe^-ikx=-ikF¢(-x) ma secondo la regola della eq.8.14 si ha -ikF¢(-x)<=>ikF¢(x) a cui poi segue per definizione lo scambio della variabile x con y (vedi eq.8.9).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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