10 - Le forze e.m. indotte e la carica magnetica

Nel post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" abbiamo introdotto il quanto di flusso magnetico ø_m=h/e (vedi eq.3.3) che attraversa la superficie S della spira elementare di corrente (definita dalla linea circolare di campo E).

Ora, come ogni valore e.m. del modello, anche il flusso magnetico è per ipotesi definito come F(x,t)=F¢(x,t) dove F è il modulo e ¢(x,t) il termine di fase (vedi eq.8.1), perciò moltiplicando entrambi i termini della eq.3.3 per la fase ¢(x,t) si ha:

ø_m¢(x,t)=(h/e)¢(x,t)     (10.1)

che quindi rappresenta il valore del flusso magnetico spazio/tempo ø_m(x,t) (in x=0 oppure t=0).

In questo post mostreremo come la variazione nello spazio/tempo del flusso magnetico ø_m(x,t) oppure ø_m(y,t) (cioè il flusso che ruota intorno all'asse X oppure Y rispettivamente) induce le forze elettromotrici (f.e.m.) che determinano la rotazione nel riferimento di tipo spazio oppure tempo della carica elettrica o magnetica, lungo le rispettive linee di campo e.m. nel modello dell'elettrone esteso (già introdotto nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica").

Consideriamo prima la carica elettrica che, secondo la Legge di Farday adattata al modello**, è sottoposta ad una f.e.m. che indichiamo con V, ed è definita grazie all'operatore Derivata (vedi eq.8.8) nel riferimento di tipo tempo (cioè in x,y=0):

V(y,t)=+(1/i2π)∂ø_m(x,t)/∂t.     (10.2)

Nota: come discusso nel post "La carica magnetica e la Legge di Lenz" non compare il segno meno della Legge di Lenz.

Quindi secondo l'operatore Derivata della eq.8.8 si ottiene la f.e.m. nel riferimento della carica elettrica di tipo tempo:

V(y,t)=ø_m(y,t)/T     (10.3)

che fa ruotare la carica elettrica e(y,t) intorno all'asse Y determinando la corrente I(y,t) in y=0 (vedi eq.8.12).
Nota: l'eq.10.2 e l'eq.10.4 verranno poi formalizzate con la eq.11.1 e la eq.11.3 che legano V e V_m al flusso magnetico ø_m.

La carica magnetica invece è sottoposta alla f.e.m. (che indichiamo con V_m) che è definita, secondo la Legge di Ampère adattata al modello**, applicando l'operatore Rotore (vedi eq.8.9) al flusso magnetico nel riferimento di tipo spazio (in t=0):

V_m(x,t)=(1/i2π)rotø_m(y,t).     (10.4)

Nota: indichiamo per semplicità con f.e.m. anche la forza motrice dovuta al potenziale magnetico, essendo sempre chiaro dal riferimento della carica elettrica/magnetica di quale potenziale si tratta.

 

Perciò la f.e.m. nel riferimento della carica magnetica è secondo la definizione di Rotore della eq.8.9:

V_m(x,t)=ø_m(x,t)/λ     (10.5)

che quindi fa ruotare la carica magnetica e_m(x,t) intorno all'asse X generando la corrente magnetica I_m(x,t) (vedi eq.9.2).
Nota: ovviamente con il termine ruotare ci riferiamo al vettore rotante che rappresenta la carica elettrica e(x,t)=e¢(x,t) oppure magnetica e_m(y,t)=e_m¢(y,t) nello spazio/tempo interno al modello (in t=0 oppure in x,y=0).

Vale quindi la seguente relazione tra i moduli delle due f.e.m. elettrica e magnetica:

V=V_mc     (10.6)

che si può derivare dalle eq.10.3 e dalla eq.10.5 essendo λ/T=c (vedi eq.2.2).

Introduciamo infine una relazione di equivalenza, analoga a quella posta nel precedente post (dove ø_mI=øI_m secondo la eq.9.4), e scriviamo per le stesse ragioni di simmetria la seguente relazione tra le energie in gioco***:

eV=e_mV_m     (10.7)

dove e_m indica la carica magnetica del modello già introdotta nel post "La carica magnetica e la Legge di Lenz".

Quindi dalla eq.10.7 possiamo ricavare e_m=eV/V_m essendo come appena visto V/V_m=c (vedi eq.10.6) perciò si ha:

e_m=ec     (10.8)

che definisce la carica magnetica del modello esteso.
Nota: come vedremo nel post "Il modello del positrone esteso" il campo statico della carica magnetica e_m è nullo al di fuori dell'elettrone, grazie alla particolare configurazione e.m. spazio/tempo del modello.

Inoltre si osservi che essendo V=ø_m/T (vedi eq.10.3) dove ø_m=h/e (eq.3.3) ed essendo I=e/T (eq.3.4) si ha:

ø_mI=eV.     (10.9)

Nota: in un prossimo post utilizzeremo questa ultima relazione per derivare l'energia complessiva dell'elettrone.

(*) L'operazione è analoga a quella fatta con l'eq.8.11 per derivare la corrente elettrica (nel riferimento tipo tempo) e con l'eq.9.1 per ricavare la corrente magnetica (nel riferimento tipo spazio) a partire dalla rotazione della carica e(x,t) e e(y,t).
(**) La corrispondenza con le leggi classiche di Faraday e di Ampère verrà mostrata nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso"; si ricordi però che il fattore (1/i2π) e l'inversione di x con y sono prerogative esclusive del modello.
(***) Come già mostrato nel post "La corrente magnetica e il flusso elettrico" il modello e.m. può essere considerato in modo del tutto simmetrico: come una spira di corrente elettrica, con carica e potenziale elettrico di energia eV, oppure in modo equivalente come una spira di corrente magnetica, con carica e potenziale magnetico di energia e_mV_m.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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