10 - Le forze e.m. indotte e la carica magnetica

Nel post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" abbiamo introdotto il quanto di flusso magnetico ø_m=h/e (vedi eq.3.3) che attraversa la superficie S della spira elementare di corrente (definita dalla linea circolare di campo E).

Ora, come ogni valore e.m. del modello, anche il flusso magnetico è per ipotesi definito come F(x,t)=F¢(x,t) dove F è il modulo e ¢(x,t) il termine di fase (vedi eq.8.1), perciò moltiplicando entrambi i termini della eq.3.3 per la fase ¢(x,t) si ha:

ø_m¢(x,t)=(h/e)¢(x,t)     (10.1)

che quindi rappresenta il valore del flusso magnetico spazio/tempo ø_m(x,t) (in x=0 oppure t=0).

In questo post mostreremo come la variazione nello spazio/tempo del flusso magnetico ø_m(x,t) oppure ø_m(y,t) (cioè il flusso che ruota intorno all'asse X oppure Y rispettivamente) induce le forze elettromotrici (f.e.m.) che determinano la rotazione nel riferimento di tipo spazio oppure tempo della carica elettrica o magnetica, lungo le rispettive linee di campo e.m. nel modello dell'elettrone esteso* (raffigurate nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica").

Consideriamo prima la carica elettrica che, secondo la Legge di Farday adattata al modello**, è sottoposta ad una f.e.m. che indichiamo con V ed è definita grazie all'operatore Derivata (vedi eq.8.8) nel riferimento di tipo tempo (cioè in x,y=0):

V(y,t)=+(1/i2π)∂ø_m(x,t)/∂t.     (10.2)

Nota: come discusso nel post "La carica magnetica e la Legge di Lenz" non compare il segno meno della Legge di Lenz.

Quindi secondo l'operatore Derivata della eq.8.8 si ottiene la f.e.m. nel riferimento della carica elettrica di tipo tempo:

V(y,t)=ø_m(y,t)/T     (10.3)

che fa ruotare la carica elettrica e(y,t) intorno all'asse Y determinando la corrente I(y,t) in y=0 (vedi eq.8.12).
Nota: l'eq.10.2 e l'eq.10.4 verranno poi formalizzate con la eq.11.1 e la eq.11.3 che legano V e V_m al flusso magnetico ø_m.

La carica magnetica invece è sottoposta alla f.e.m. (che indichiamo con V_m) che è definita, secondo la Legge di Ampère adattata al modello**, applicando l'operatore Rotore (vedi eq.8.9) al flusso magnetico nel riferimento di tipo spazio (in t=0):

V_m(x,t)=(1/i2π)rotø_m(y,t).     (10.4)

Nota: indichiamo per semplicità con f.e.m. anche la forza motrice dovuta al potenziale magnetico, essendo sempre chiaro dal riferimento della carica elettrica oppure magnetica di quale potenziale si tratta.

 

Perciò la f.e.m. nel riferimento della carica magnetica è secondo la definizione di Rotore della eq.8.9:

V_m(x,t)=ø_m(x,t)/λ     (10.5)

che quindi fa ruotare la carica magnetica e_m(x,t) intorno all'asse X generando la corrente magnetica I_m(x,t) (vedi eq.9.2).
Nota: ovviamente con il termine ruotare ci riferiamo al vettore rotante che rappresenta la carica elettrica e(x,t)=e¢(x,t) oppure magnetica e_m(y,t)=e_m¢(y,t) nello spazio/tempo interno al modello (in t=0 oppure in x,y=0).

Vale quindi la seguente relazione tra i moduli delle due f.e.m. elettrica e magnetica:

V=V_mc     (10.6)

che si può derivare dalle eq.10.3 e dalla eq.10.5 essendo λ/T=c (vedi eq.2.2).

Introduciamo infine una relazione di equivalenza, analoga a quella posta nel precedente post (dove ø_mI=øI_m secondo la eq.9.4), e scriviamo per le stesse ragioni di simmetria la seguente relazione tra le energie in gioco***:

eV=e_mV_m     (10.7)

dove e_m indica la carica magnetica del modello già introdotta nel post "La carica magnetica e la Legge di Lenz".

Quindi dalla eq.10.7 possiamo ricavare e_m=eV/V_m essendo come appena visto V/V_m=c (vedi eq.10.6) perciò si ha:

e_m=ec     (10.8)

che definisce la carica magnetica del modello esteso.
Nota: come vedremo nel post "Il modello del positrone esteso" il campo statico della carica magnetica e_m è nullo al di fuori dell'elettrone, grazie alla particolare configurazione e.m. spazio/tempo del modello.

Inoltre si osservi che essendo V=ø_m/T (vedi eq.10.3) dove ø_m=h/e (eq.3.3) ed essendo I=e/T (eq.3.4) si ha:

ø_mI=eV.     (10.9)

Nota: in un prossimo post utilizzeremo questa ultima relazione per derivare l'energia complessiva dell'elettrone.

(*) L'operazione è analoga a quella fatta con l'eq.8.11 per derivare la corrente elettrica (nel riferimento tipo tempo) e con l'eq.9.1 per ricavare la corrente magnetica (nel riferimento tipo spazio) a partire dalla rotazione della carica e(x,t) e e(y,t).
(**) La corrispondenza con le leggi classiche di Faraday e di Ampère verrà mostrata nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso"; si ricordi però che il fattore (1/i2π) e l'inversione di x con y sono prerogative esclusive del modello.
(***) Come già mostrato nel post "La corrente magnetica e il flusso elettrico" il modello e.m. può essere considerato in modo del tutto simmetrico: come una spira di corrente elettrica, con carica e potenziale elettrico di energia eV, oppure in modo equivalente come una spira di corrente magnetica, con carica e potenziale magnetico di energia e_mV_m.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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