3 - Il momento magnetico dell'elettrone esteso
Riprendiamo qui la relazione introdotta nel precedente post "Carica puntiforme e massa estesa" che per ipotesi lega il periodo T del moto circolare della carica elettrica, all'energia di massa dell'elettrone m0c2 (vedi eq.2.1):
È immediato osservare che øm ha le dimensioni di un flusso magnetico mentre I ha le dimensioni di una corrente; in particolare øm è pari al doppio del quanto di flusso magnetico* ø0=h/2e mentre la corrente I è per ipotesi dovuta alla rotazione della carica lungo la circonferenza λ del disco (dove λ=h/m0c secondo la eq.2.3).
Nota: si noti che con tali ipotesi la eq.3.2 attribuisce un'origine elettromagnetica alla massa nuda m0 dell'elettrone.
A questo punto l'analogia con una spira elementare di corrente di raggio r diventa evidente e ci induce a calcolare il momento magnetico del modello come nel caso classico:
Nota: abbiamo implicitamente supposto che la corrente I sia costante lungo λ nonostante la carica elettrica sia puntiforme; in un prossimo post vedremo come vengono determinati i valori e.m. del modello.
Come abbiamo derivato nel precedente post il raggio della spira è pari a r=h/2πm0c (vedi eq.2.5) quindi si ottiene:
m0c2=h/T.
Se moltiplichiamo questa relazione per il fattore unitario e/e (dove e è la carica elettrica puntiforme del modello) otteniamo di nuovo la stessa identità:
m0c2=(h/T)(e/e) (3.1)
che però possiamo riscrivere come
m0c2=ømI (3.2)
avendo posto
øm=h/e (3.3)
e
I=e/T. (3.4)
È immediato osservare che øm ha le dimensioni di un flusso magnetico mentre I ha le dimensioni di una corrente; in particolare øm è pari al doppio del quanto di flusso magnetico* ø0=h/2e mentre la corrente I è per ipotesi dovuta alla rotazione della carica lungo la circonferenza λ del disco (dove λ=h/m0c secondo la eq.2.3).
Nota: si noti che con tali ipotesi la eq.3.2 attribuisce un'origine elettromagnetica alla massa nuda m0 dell'elettrone.
A questo punto l'analogia con una spira elementare di corrente di raggio r diventa evidente e ci induce a calcolare il momento magnetico del modello come nel caso classico:
µ=SI (3.5)
dove
S=πr2 (3.6)
è la superficie della spira elementare, mentre la corrente I è data da
I=ec/2πr (3.7)
essendo I=e/T (vedi eq.3.4), T=λ/c (eq.2.2) e λ=2πr (eq.2.4), come illustrato in figura:
Come abbiamo derivato nel precedente post il raggio della spira è pari a r=h/2πm0c (vedi eq.2.5) quindi si ottiene:
µ=πr2(ec/2πr)=eh/4πm0 (3.8)
che corrisponde al momento magnetico intrinseco dell'elettrone** calcolato in prima approssimazione dalla QED***.
Nota: in un prossimo post calcoleremo anche "L'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso" esprimendo il momento magnetico in funzione della massa misurata m (leggermente diversa da quella nuda m0).
Si osservi infine, anticipando quanto vedremo meglio nei prossimi post, che vale la relazione:
Nota: in un prossimo post calcoleremo anche "L'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso" esprimendo il momento magnetico in funzione della massa misurata m (leggermente diversa da quella nuda m0).
Si osservi infine, anticipando quanto vedremo meglio nei prossimi post, che vale la relazione:
ømI=µB (3.9)
essendo µ=SI (vedi eq.3.5) e dove B=øm/S (vedi eq.5.1) è il campo magnetico statico che attraversa la spira di corrente, che è in realtà dovuto alla carica magnetica em (anch'essa puntiforme e priva di massa) che come vedremo è posta per costruzione del modello nel centro della spira (vedi il post "La carica magnetica e la Legge di Lenz").
Nota: quindi al campo magnetico dinamico dovuto alla corrente elettrica si somma quello statico dovuto alla carica magnetica entrambi pari a B=øm/S (vedi eq.11.12 ed eq.11.13 del post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso").
Perciò il valore dell'energia potenziale µB dovuta al campo magnetico B che attraversa perpendicolarmente la spira di corrente (vedi Vm in eq.11.13) e al suo momento magnetico µ, è equivalente all'energia di massa dell'elettrone:
Nota: quindi al campo magnetico dinamico dovuto alla corrente elettrica si somma quello statico dovuto alla carica magnetica entrambi pari a B=øm/S (vedi eq.11.12 ed eq.11.13 del post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso").
Perciò il valore dell'energia potenziale µB dovuta al campo magnetico B che attraversa perpendicolarmente la spira di corrente (vedi Vm in eq.11.13) e al suo momento magnetico µ, è equivalente all'energia di massa dell'elettrone:
m0c2=µB (3.10)
essendo come abbiamo visto sopra m0c2=ømI (vedi eq.3.2).
Nota: come vedremo risulta m0c2=emVm dove Vm (vedi eq.10.4) è la forza motrice dovuta al flusso magnetico.
Tuttavia questo è un risultato ottenuto con un procedimento del tutto euristico che dovremo analizzare meglio nei prossimi post, dove introdurremo le equazioni che governano i campi e.m. interni del modello esteso dell'elettrone.
Nota: la configurazione e.m. spazio/tempo dell'elettrone verrà introdotta nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica".
(*) È noto che il quanto di flusso magnetico ø0=h/2e è stato definito nell'ambito dei superconduttori dove il termine 2e è dovuto alle coppia di elettroni di Cooper; nel nostro caso invece abbiamo una singola carica elettrica e quindi øm=h/e.
(**) L'analogia col caso classico di una spira è solo parziale: dobbiamo supporre che il momento magnetico dell'elettrone presenti, una volta misurato, esclusivamente uno dei due possibili stati up o down come verificato sperimentalmente. Inoltre la configurazione e.m. resta stabile, come mostreremo in un altro post, anche quando viene perturbata dall'esterno.
(***) In QED la formula del momento magnetico dell'elettrone è µ=ehg/8πm dove il fattore g è pari a 2 quando è ricavato dall'equazione di Dirac mentre è di poco superiore a 2 quando g è derivato con più precisione dalla teoria QED.
[Si noti che nella formula µ=ehg/8πm della QED m è la massa misurata dell'elettrone mentre nella eq.3.8 abbiamo indicato la massa nuda come specificheremo meglio nel post "L'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso"]
Nota: come vedremo risulta m0c2=emVm dove Vm (vedi eq.10.4) è la forza motrice dovuta al flusso magnetico.
Tuttavia questo è un risultato ottenuto con un procedimento del tutto euristico che dovremo analizzare meglio nei prossimi post, dove introdurremo le equazioni che governano i campi e.m. interni del modello esteso dell'elettrone.
Nota: la configurazione e.m. spazio/tempo dell'elettrone verrà introdotta nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica".
(*) È noto che il quanto di flusso magnetico ø0=h/2e è stato definito nell'ambito dei superconduttori dove il termine 2e è dovuto alle coppia di elettroni di Cooper; nel nostro caso invece abbiamo una singola carica elettrica e quindi øm=h/e.
(**) L'analogia col caso classico di una spira è solo parziale: dobbiamo supporre che il momento magnetico dell'elettrone presenti, una volta misurato, esclusivamente uno dei due possibili stati up o down come verificato sperimentalmente. Inoltre la configurazione e.m. resta stabile, come mostreremo in un altro post, anche quando viene perturbata dall'esterno.
(***) In QED la formula del momento magnetico dell'elettrone è µ=ehg/8πm dove il fattore g è pari a 2 quando è ricavato dall'equazione di Dirac mentre è di poco superiore a 2 quando g è derivato con più precisione dalla teoria QED.
[Si noti che nella formula µ=ehg/8πm della QED m è la massa misurata dell'elettrone mentre nella eq.3.8 abbiamo indicato la massa nuda come specificheremo meglio nel post "L'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso"]
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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