2 - Carica puntiforme e massa estesa

Come accennato nel precedente post, nel modello esteso dell'elettrone la carica è considerata puntiforme mentre è la massa nuda* m₀ ad essere distribuita in modo uniforme su una superficie che definisce un disco rigido in rotazione.

Nota: tutti i problemi che tale configurazione presenta (stabilità, rigidità, etc.) verranno introdotti in un prossimo post.

 

La carica elettrica invece, priva di massa e solidale al disco, è posta in un punto della circonferenza del disco (privo di spessore) il quale per ipotesi ruota a velocità c attorno al proprio asse di simmetria, come illustrato in figura:

Nota: abbiamo implicitamente supposto l'esistenza di una linea di campo elettrico E che guida la carica elettrica puntiforme lungo la circonferenza del disco; nei prossimi post descriveremo in dettaglio la struttura e.m. del modello.

Per dimensionare il modello utilizziamo una relazione introdotta per la prima volta da de Broglie, essa lega l'energia di una qualsiasi particella, nel nostro caso l'elettrone di massa nuda m₀, ad un non ben definito moto di periodo T cioè:

m₀c²=h/T     (2.1)

dove h è la costante di Planck mentre c è la velocità della luce nel vuoto.

Nota: per chiarimenti sull'ipotesi di de Broglie e la derivazione di una lunghezza d'onda associata alle particelle in moto, vedi il post "L'ipotesi di de Broglie: L=h/p".

Nel nostro modello supponiamo che T sia ben definito e sia dato dal rapporto tra la lunghezza della circonferenza λ lungo cui circola la carica e la velocità c della luce a cui essa si muove**:

T=λ/c     (2.2)

da cui utilizzando l'eq.2.1 possiamo esprimere la massa a riposo m₀ in funzione di λ:

m₀=h/λc.     (2.3)

Nota: si osservi come la massa dell'elettrone sia direttamente legata alla geometria del modello; in particolare supponiamo che λ sia un invariante del modello anche durante il moto (ovviamente la massa relativistica può variare).

Quindi poiché la geometria del modello impone la relazione

λ=2πr     (2.4)

dove r è il raggio del disco massivo dell'elettrone, si ottiene immediatamente:

r=λ/2π=h/2πm₀c     (2.5)

essendo come abbiamo visto λ=h/m₀c (vedi eq.2.3).

Nota: il raggio dell'elettrone si ottiene perciò dalle costanti fondamentali h e c e dalla sua massa nuda m₀.

Si osservi infine che il raggio medio di un atomo, pari a circa il raggio di Bohr:

r_B=ε₀h²/(πm₀e²)     (2.6)

è compatibile (cioè risulta r<<r_B) col raggio r dell'elettrone prima ricavato*** risultando:

r_B/r=2hε₀c/e²=1/α≈137    (2.7)

essendo α=e²/(2hε₀c) la costante adimensionale di struttura fine pari a circa 1/137.

Nei prossimi post dettaglieremo il modello e.m. dell'elettrone esteso e deriveremo sia il momento magnetico che il momento angolare dell'elettrone, facendo delle ipotesi di tipo semi-classico sulle caratteristiche fisiche del modello.
Nota: si suppone inoltre che la carica elettrica in moto circolare non emetta radiazioni e.m. e quindi sia stabile.

(*) Come anticipato nel post precedente la massa nuda dell'elettrone è priva di campo elettrico per definizione; affronteremo in un prossimo post il calcolo dell'energia finita dell'elettrone dovuta al suo campo elettrostatico.

(**) Secondo la meccanica relativistica una particella priva di massa deve muoversi alla velocità c della luce (vedi il post "Massa a riposo "nulla!""); infatti essendo E=mc² e p=mv segue v=pc²/E=c quando E=pc (cioè per particelle con m=0).

(***) In ambito classico si deriva il raggio dell'elettrone supponendo che la carica sia distribuita su una sfera di raggio r_c e capacità C=e/V=4πε₀r_c da cui si ricava l'energia elettrostatica eV=e²/C=e²/4πε₀r_c e quindi ponendo eV=m₀c² segue r_c=αh/2πm₀c (dove α=e²/2hε₀c); vale perciò la relazione r/r_c=1/α≈137 dove r è il raggio del nostro modello.
[Tuttavia il modello classico di una sfera elettrica sarebbe instabile a causa delle forze elettriche repulsive superficiali]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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