4 - Il momento angolare dell'elettrone esteso

Come abbiamo già precisato nel post "Carica puntiforme e massa estesa", nel nostro modello esteso dell'elettrone la carica è puntiforme (come del resto provano le misure sperimentali fino a risoluzioni di circa 10^-19 metri), mentre la massa è distribuita in modo uniforme sulla superficie estesa del modello rappresentato da un disco rigido (privo di spessore).

Nota: tratteremo meglio l'ipotesi della configurazione del disco rigido nel post "L'energia potenziale del disco massivo".

Abbiamo inoltre supposto che, come la carica elettrica puntiforme, anche il disco esteso di raggio r sia in rotazione intorno al proprio asse di simmetria*, con velocità angolare

w=2π/T     (4.1)

dove T=λ/c (vedi eq.2.2) è identico al periodo di rotazione della carica posta sulla circonferenza del disco.

 

Inoltre il verso del momento angolare S è contrario a quello del momento magnetico µ (definito nel post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso") poiché la corrente ha per ipotesi verso opposto (vedi il precedente post) a quello di rotazione della carica elettrica negativa che è solidale al disco, così come viene illustrato in figura:

 

Per ipotesi, come accade nel caso classico, alla rotazione del disco di massa m₀ è associato un momento angolare che supponiamo si possa calcolare come quello di un disco rigido**; quindi il momento di inerzia I_m del disco di raggio r è:

I_m=(1/2)m₀r²     (4.2)

e il momento angolare dell'elettrone è così definito:

S=wI_m.     (4.3)

Nota: poiché l'elettrone è una particella stabile, dobbiamo supporre che la rotazione del disco non sia perturbabile dall'esterno, come discuteremo in dettaglio in un prossimo post.

Ora avendo già ricavato i valori di w=2πc/λ (vedi eq.2.2), m₀=h/λc (eq.2.3) e r=λ/2π (eq.2.4) si ottiene dalle eqq.4.2 e 4.3:

S=(2πc/λ)(1/2)m₀r²=(1/2)h/2π     (4.4)

che è proprio il momento angolare o spin dell'elettrone*** come si può derivare dalla nota equazione di Dirac (si osservi però che nel nostro modello lo spin e il momento magnetico sono ottenuti in modo indipendente l'uno dall'altro).
Nota: lo spin S a differenza del momento magnetico risulta indipendente dalla massa nuda m₀ dell'elettrone (vedi eq.4.4).

(*) Come vedremo nel post "L'energia potenziale del disco massivo" la rotazione del disco permette alla massa distribuita sulla superficie di non collassare nel centro di massa restando però confinata grazie all'energia potenziale.
(**) Come vedremo in un prossimo post la massa del disco non rotante può essere definita in modo che, una volta messa in rotazione a velocità c, assuma un valore uniforme di densità costante ρ₀=m₀/πr².
(***) Dobbiamo però supporre che il momento angolare, come già osservato per il momento magnetico, venga sempre misurato esclusivamente in uno dei due possibili stati up o down quindi l'analogia col caso classico è solo parziale.
[Ricordiamo che in generale non è possibile definire un sistema di riferimento in quiete con un disco in rotazione (poiché la velocità di ogni cerchio del disco è funzione del raggio): supponiamo tuttavia che nel nostro caso specifico il sistema disco in rotazione relativistica si comporti come un disco rigido classico ai fini del calcolo del momento angolare poiché il suo potenziale gravitazionale è molto piccolo (vedi il relativo post): perciò il disco è piatto e λ=2πr è invariante)]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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