15 - L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso
Come descritto nel post "Carica puntiforme e massa estesa" il modello dell'elettrone presuppone che la massa sia distribuita in modo uniforme sul disco rotante di raggio r=λ/2π (vedi eq.2.4). Inoltre, come già anticipato (vedi "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" e "Il momento angolare dell'elettrone esteso"), supponiamo che il disco massivo venga sempre misurato nello spazio-tempo classico in soli due stati (up e down)* rispetto al proprio asse di simmetria (quello di rotazione): ciò suggerisce che anche l'interazione gravitazionale si propaghi lungo l'asse di rotazione del modello.
Nota: mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si propaga dal centro di carica elettrica (vedi il post precedente).
Supponiamo quindi che l'interazione gravitazionale si propaghi sempre lungo l'asse di rotazione del disco elementare: in figura mostriamo la sovrapposizione di alcuni degli infiniti stati di spin del modello dove può propagarsi l'interazione. Inoltre, una volta definito l'asse lungo cui avviene l'interazione gravitazionale, il potenziale generato dall'elettrone in un punto dello spazio può essere calcolato assumendo come già detto che la massa sia distribuita sul disco di raggio r.
Nota: in realtà come vedremo è il raggio medio <r> quello che definisce il moto circolare della carica elettrica.
Nota: mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si propaga dal centro di carica elettrica (vedi il post precedente).
Supponiamo quindi che l'interazione gravitazionale si propaghi sempre lungo l'asse di rotazione del disco elementare: in figura mostriamo la sovrapposizione di alcuni degli infiniti stati di spin del modello dove può propagarsi l'interazione. Inoltre, una volta definito l'asse lungo cui avviene l'interazione gravitazionale, il potenziale generato dall'elettrone in un punto dello spazio può essere calcolato assumendo come già detto che la massa sia distribuita sul disco di raggio r.
Nota: in realtà come vedremo è il raggio medio <r> quello che definisce il moto circolare della carica elettrica.
Ricordiamo che la legge classica di gravitazione prevede che il potenziale gravitazionale dVg esercitato da un punto di massa infinitesima dm a distanza X sia (dove G è la costante gravitazionale):
dVg(X)=-Gdm/X (15.1)
e quindi per una massa puntiforme di massa m il potenziale risulta pari a (integrando sulla massa):
Vg(X)=-Gm/X. (15.2)
Nota: qui indichiamo con X una distanza qualsiasi e non l'asse X del riferimento del centro di massa dell'elettrone.
Introduciamo perciò la densità di massa uniforme del disco dell'elettrone esteso:
Introduciamo perciò la densità di massa uniforme del disco dell'elettrone esteso:
ρ=m/S (15.3)
dove S=πr2 è la superficie del disco (vedi eq.3.6) mentre m è la massa misurata dell'elettrone***.
Ora la variazione dm della massa rispetto alla superficie S è per ipotesi costante cioè
Ora la variazione dm della massa rispetto alla superficie S è per ipotesi costante cioè
dm/dS=ρ (15.4)
inoltre la variazione dS della superficie rispetto ad un punto R del raggio r è (con 0<R<r):
dS/dR=2πR. (15.5)
Dalla eq.15.4 si ottiene perciò la variazione dm della massa rispetto a R:
dm=ρdS=ρ2πRdR (15.6)
che in pratica rappresenta la massa di un anello infinitesimo di raggio R e spessore dR.
Se quindi consideriamo un punto qualsiasi del disco distante R dal centro, la sua distanza X da un punto y fissato dell'asse di simmetria Y è pari a X=(y2+R2)1/2 perciò il potenziale gravitazionale esercitato in y dall'anello di massa dm e raggio R è (secondo la eq.15.1 e per la simmetria dell'anello):
Se quindi consideriamo un punto qualsiasi del disco distante R dal centro, la sua distanza X da un punto y fissato dell'asse di simmetria Y è pari a X=(y2+R2)1/2 perciò il potenziale gravitazionale esercitato in y dall'anello di massa dm e raggio R è (secondo la eq.15.1 e per la simmetria dell'anello):
dVg(y)=-Gdm/(y2+R2)1/2=-Gρ2πRdR/(y2+R2)1/2 (15.7)
essendo dm=ρ2πRdR (vedi eq.15.6) e dove ρ=m/S=m/πr2 (vedi eq.15.3).
Infine integrando dVg(y) su tutti gli anelli del disco massivo (da 0 al raggio r) si ottiene in un punto y fissato:
Infine integrando dVg(y) su tutti gli anelli del disco massivo (da 0 al raggio r) si ottiene in un punto y fissato:
Vg(y)=-Gρ2π(y2+R2)1/2|or=-2(Gm/r2)[(y2+r2)1/2-y] (15.8)
che rappresenta quindi il potenziale gravitazionale dell'elettrone esteso.
Nota: per riottenere la eq.15.7 dobbiamo derivare Vg(y) (vedi eq.15.8) rispetto a R poiché y è fissato.
Perciò risulta subito evidente che nel punto y=0 (punto critico per una particella puntiforme), si ottiene il valore finito:
Nota: per riottenere la eq.15.7 dobbiamo derivare Vg(y) (vedi eq.15.8) rispetto a R poiché y è fissato.
Perciò risulta subito evidente che nel punto y=0 (punto critico per una particella puntiforme), si ottiene il valore finito:
Vg(0)=-2(Gm/r). (15.9)
Quindi poiché il valore del raggio dell'elettrone è r=h/2πm0c=3,87x10-13 m (vedi eq.2.5) mentre m=9,11x10−31 kg è la massa dell'elettrone e G=6,67x10−11 Nm2/kg2 è la costante di gravitazione universale si ha (in y=0):
Vg(0)=3,14 10-28 J/Kg (15.10)
che è un valore molto piccolo e del tutto diverso da quello di una particella puntiforme che tende ad infinito per y->0.
Nota: invece per y>r si ha correttamente che Vg(y)≈ -Gm/y come nel caso classico (infatti ricordando che (1+r2/y2)1/2≈1+(1/2)r2/y2 per y>r segue Vg(y)=-2(Gm/r2)[(y2+r2)1/2-y]=-2(Gm/r2)y[(1+r2/y2)1/2-1]≈ -Gm/y).
Nota: invece per y>r si ha correttamente che Vg(y)≈ -Gm/y come nel caso classico (infatti ricordando che (1+r2/y2)1/2≈1+(1/2)r2/y2 per y>r segue Vg(y)=-2(Gm/r2)[(y2+r2)1/2-y]=-2(Gm/r2)y[(1+r2/y2)1/2-1]≈ -Gm/y).
Come ci aspettavamo il modello esteso dell'elettrone prevede quindi un comportamento diverso del potenziale gravitazionale rispetto ad una particella massiva puntiforme (si confrontino la eq.15.2 e la eq.15.8) e tale differenza dovrebbe essere rilevabile sperimentalmente in un acceleratore di particelle, in particolare quando y->0: in effetti questo sarebbe l'unico modo per inferire l'estensione della massa che, ricordiamo, per ipotesi non è rilevabile dallo spazio-tempo esterno al modello (dato che l'interazione con la massa estesa avviene solo lungo l'asse di rotazione del disco).
Nota: mentre l'intensità dell'interazione elettrica statica è la stessa del caso classico dato che la carica elettrica del modello è puntiforme e per ipotesi si propaga dal centro di carica elettrica nel suo riferimento di tipo spazio (vedi post).
Tuttavia ad oggi eventuali esperimenti di scattering tra elettroni non sono in grado di verificare il potenziale gravitazionale prima derivato (vedi eq.15.8), poiché questo è schermato dal potenziale elettrico che per y->0 tende ad infinito, mentre il potenziale gravitazionale nel modello dell'elettrone esteso ha un valore finito (vedi la eq.15.9).
Anche lo scattering tra elettroni e protoni a causa della struttura complessa e non puntiforme di questi ultimi non è il sistema migliore per sondare l'interazione gravitazionale di un elettrone, soprattutto alle energie oggi disponibili.
Anche lo scattering tra elettroni e protoni a causa della struttura complessa e non puntiforme di questi ultimi non è il sistema migliore per sondare l'interazione gravitazionale di un elettrone, soprattutto alle energie oggi disponibili.
Nota: nel modello classico il rapporto tra il potenziale elettrico e quello gravitazionale è costante e pari a circa 1031 indipendentemente dalla distanza y dall'elettrone (dato che entrambi i potenziali vanno come 1/y).
Per verificare sperimentalmente l'estensione dell'elettrone, potremmo forse utilizzare dei fotoni (che non sono soggetti alla forza elettrica) scegliendoli di lunghezza d'onda tale che sia minore del raggio dell'elettrone r=λ/2π (per avere un buon potere risolutivo) e cioè fotoni di energia hν>2πhc/λ=2m0c2 (essendo λ/2π=h/2πm0c secondo la eq.2.5); tuttavia ciò dà luogo alla produzione di coppie elettrone-positrone di energia E>2m0c2 compromettendo l'esperimento e, in ogni caso, nello spazio-tempo il fotone non può evidenziare l'estensione del modello che è una proprietà definita nello spazio/tempo interno del modello (vedi anche il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").
Ricordiamo infine, come anticipato nel post "La divergenza 'discreta' del modello esteso", che mentre l'interazione gravitazionale si propaga dal centro di massa (che corrisponde al centro di carica magnetica) e dipende dalla distribuzione della massa, l'interazione elettrica si origina dal centro di carica elettrica (nel riferimento di tipo spazio): in questo riferimento la carica è definita in quiete e puntiforme, come è stato verificato fino a distanze di circa 10-19 m.
Nota: per la definizione di elettrone in quiete vedi il post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso".
Nota: per la definizione di elettrone in quiete vedi il post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso".
(*) Si suppone cioè che per qualsiasi angolo di interazione, rispetto ad una retta ideale fissata passante per il centro di massa, l'elettrone venga sempre misurato nello stato up oppure down dello spin in modo equiprobabile (come del resto afferma la meccanica quantistica per lo stato di spin di una particella elementare come l'elettrone).
(**) Si verificano cioè le condizioni di approssimazione di un campo gravitazionale debole dove le previsioni della relatività generale, per piccoli potenziali e basse velocità, sono indistinguibili dalla teoria newtoniana (vedi Wikipedia).
(***) Come vedremo nei prossimi post la massa misurata dell'elettrone è pari a m>m0 dove m0 è la massa nuda dell'elettrone, cioè priva dell'energia di campo (come spiegato nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").
[Per confrontare i due potenziali, quello classico della eq.15.2 e quello del modello esteso della eq.15.8, si può usare la calcolatrice grafica di GeoGebra ponendo per semplicità G=m=1 e r=10-3 (non è necessario porre r≈10-13)]
(***) Come vedremo nei prossimi post la massa misurata dell'elettrone è pari a m>m0 dove m0 è la massa nuda dell'elettrone, cioè priva dell'energia di campo (come spiegato nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").
[Per confrontare i due potenziali, quello classico della eq.15.2 e quello del modello esteso della eq.15.8, si può usare la calcolatrice grafica di GeoGebra ponendo per semplicità G=m=1 e r=10-3 (non è necessario porre r≈10-13)]
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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