15 - L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso

Come descritto nel post "Carica puntiforme e massa estesa" il modello esteso dell'elettrone presuppone che la massa sia distribuita in modo uniforme su un disco rotante di raggio r=λ/2π (vedi eq.2.4). Inoltre, come anticipato nei due post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" e "Il momento angolare dell'elettrone esteso", supponiamo che il disco massivo venga osservato nello spazio-tempo classico in soli due stati (up e down)* rispetto al proprio asse di simmetria (quello di rotazione): ciò suggerisce che anche l'interazione gravitazionale si propaghi lungo l'asse di simmetria dell'elettrone.
Nota: mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si verifica nel centro di carica elettrica (vedi il post precedente).

In figura mostriamo la sovrapposizione di alcuni degli infiniti stati di Spin del modello: una volta definito l'asse lungo cui avviene l'interazione gravitazionale questa si può calcolare, come vedremo di seguito, assumendo come già detto che la massa sia distribuita sul disco di raggio r (supponendo che l'interazione avvenga lungo l'asse di rotazione del disco).
Nota: in realtà come vedremo è il raggio medio <r> quello che definisce il moto circolare della carica elettrica.


Assumendo questa condizione come ipotesi, calcoliamo il potenziale gravitazionale di un disco piatto di massa m0 e raggio r lungo il suo asse di simmetria rotazionale Y: per farlo usiamo la classica Legge di gravitazione universale di Newton dato che la massa dell'elettrone può considerarsi del tutto trascurabile**.
Tale legge prevede che il potenziale gravitazionale esercitato da un punto di massa infinitesima dm a distanza X sia
dVg(X)=-Gdm/X     (15.1)
e quindi per una massa puntiforme di massa m il potenziale risulta pari a (integrando sulla massa):
Vg(X)=-Gm/X.     (15.2)
Nota: qui indichiamo con X una distanza e non l'asse X del riferimento del centro di massa dell'elettrone.

Introduciamo quindi la densità di massa uniforme del disco dell'elettrone esteso:
ρ=m/S     (15.3)
dove S=πr2 è la superficie del disco (vedi eq.3.6) mentre m è la massa misurata dell'elettrone***.
Ora la variazione dm della massa rispetto alla superficie S è per ipotesi costante cioè
dm/dS=ρ     (15.4)
inoltre la variazione dS della superficie rispetto ad un punto R del raggio r è (con 0<R<r):
dS/dR=2πR.     (15.5)
Dalla eq.15.4 si ottiene perciò la variazione dm della massa rispetto a R:
dm=ρdS=ρ2πRdR     (15.6)
che in pratica rappresenta la massa di un anello infinitesimo di raggio R e spessore dR.

Se quindi consideriamo un punto qualsiasi del disco distante R dal centro, la sua distanza X da un punto y fissato (dell'asse di simmetria Y) è pari a X=(y2+R2)1/2 perciò il potenziale gravitazionale esercitato in y dall'anello di massa dm e raggio R è (secondo la eq.15.1 e per la simmetria dell'anello):
dVg(y)=-Gdm/(y2+R2)1/2=-Gρ2πRdR/(y2+R2)1/2     (15.7)
essendo dm=ρ2πRdR (vedi eq.15.6) e dove ρ=m/S=m/πr2 (vedi eq.15.3).
Infine integrando dVg(y) su tutti gli anelli del disco massivo (da 0 al raggio r) si ottiene in un punto y fissato:
Vg(y)=-Gρ2π(y2+R2)1/2|or=-2(Gm/r2)[(y2+r2)1/2-y].     (15.8)
Perciò risulta subito evidente che nel punto y=0 (punto critico per una particella puntiforme), si ottiene il valore finito:
Vg(0)=-2(Gm/r).     (15.9)
Nota: per riottenere la eq.15.7 dobbiamo derivare Vg(y) (eq.15.8) rispetto a R poiché y è fissato.

Quindi poiché il valore del raggio dell'elettrone è r=h/2πm0c=3,87x10-13 m (vedi eq.2.5) mentre m=9,11x10−31 kg è la massa dell'elettrone e G=6,67x10−11 Nm2/kg2 è la costante di gravitazione universale si ha (in y=0):
Vg(0)=3,14 10-28 J/Kg     (15.10)
che è un valore molto piccolo e del tutto diverso da quello di una particella puntiforme che tende ad infinito per y->0.
Nota: invece quando y>r si ha che Vg(y)≈-Gm/y come nel caso classico (infatti ricordando che (1+r2/y2)1/2≈1+(1/2)r2/y2 quando y>r segue Vg(y)=-2(Gm/r2)[(y2+r2)1/2-y]=-2(Gm/r2)y[(1+r2/y2)1/2-1]≈-Gm/y).

Come ci aspettavamo il modello esteso dell'elettrone prevede quindi un comportamento diverso del potenziale gravitazionale rispetto ad una particella massiva puntiforme (si confrontino la eq.15.2 e la eq.15.8) e tale differenza dovrebbe essere rilevabile sperimentalmente in un acceleratore di particelle, in particolare quando y->0. In effetti questo sarebbe l'unico modo per inferire l'estensione della massa che, ricordiamo, per ipotesi non è rilevabile dallo spazio-tempo esterno al modello (dato che l'interazione con la massa estesa avviene solo lungo l'asse del disco).
Nota: mentre l'intensità dell'interazione elettrica statica è la stessa del caso classico dato che la carica elettrica del modello è puntiforme e per ipotesi si verifica nel centro di carica elettrica nel suo riferimento di tipo spazio (vedi post).
 
Tuttavia ad oggi eventuali esperimenti di scattering tra elettroni non sono in grado di verificare il potenziale gravitazionale prima derivato (vedi eq.15.8), poiché questo è schermato dal potenziale elettrico che per y->0 tende ad infinito, mentre il potenziale gravitazionale nel modello dell'elettrone esteso ha un valore finito (vedi la eq.15.9).
Anche lo scattering tra elettroni e protoni a causa della struttura complessa e non puntiforme di questi ultimi non è il sistema migliore per sondare l'interazione gravitazionale di un elettrone, soprattutto alle energie oggi disponibili.
Nota: nel modello classico il rapporto tra il potenziale elettrico e quello gravitazionale è costante e pari a circa 1031 indipendentemente dalla distanza y dall'elettrone (dato che entrambi i potenziali vanno come 1/y).

Per verificare sperimentalmente l'estensione dell'elettrone, potremmo forse utilizzare dei fotoni (che non sono soggetti alla forza elettrica) scegliendoli di lunghezza d'onda tale che sia minore del raggio dell'elettrone r=λ/2π (per avere un buon potere risolutivo) e cioè fotoni di energia hν>2πhc/λ=2m0c2 (essendo λ/2π=h/2πm0c secondo la eq.2.5); tuttavia ciò dà luogo alla produzione di coppie elettrone-positrone di energia E>2m0c2 compromettendo l'esperimento e, in ogni caso, nello spazio-tempo il fotone non può evidenziare l'estensione del modello che è una proprietà definita nello spazio/tempo interno del modello (vedi anche il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").

Inoltre come già anticipato nel post "La divergenza 'discreta' del modello esteso", l'interazione gravitazionale si verifica nel centro di massa (che corrisponde al centro di carica magnetica) e dipende dalla distribuzione della massa; mentre l'interazione elettrica statica ha invece luogo nel centro di carica elettrica (nel suo riferimento di tipo spazio): in questo riferimento la carica è in quiete e puntiforme, come si verifica sperimentalmente fino a distanze di circa 10-19 metri.
Nota: per la definizione di elettrone in quiete vedi il post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso".
 
(*) Si suppone cioè che per qualsiasi angolo di interazione, rispetto ad una retta ideale fissata passante per il centro di massa, l'elettrone venga sempre osservato (misurato) nello stato up oppure down dello spin in modo equiprobabile (come del resto afferma la meccanica quantistica per lo stato di spin di una particella elementare come l'elettrone).
(**) Si verificano cioè le condizioni di approssimazione di un campo gravitazionale debole dove le previsioni della relatività generale, per piccoli potenziali e basse velocità, sono indistinguibili dalla teoria newtoniana (vedi Wikipedia).
(***) Come vedremo nei prossimi post la massa misurata dell'elettrone è pari a m>m0 dove m0 è la massa nuda dell'elettrone, cioè priva dell'energia di campo (come spiegato nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").

[Per confrontare i due potenziali, quello classico della eq.15.2 e quello del modello esteso della eq.15.8, si può usare la calcolatrice grafica di GeoGebra ponendo per semplicità G=m=1 e r=10-3 (non è necessario porre r10-13)]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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