15 - L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso

Come descritto nel post "Carica puntiforme e massa estesa" il modello esteso dell'elettrone presuppone che la massa sia distribuita in modo uniforme su un disco rotante di raggio r=λ/2π (vedi eq.2.4). Inoltre, come anticipato nei due post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" e "Il momento angolare dell'elettrone esteso", supponiamo che il disco massivo venga osservato nello spazio-tempo classico in soli due stati (up e down)* rispetto al proprio asse di simmetria (quello di rotazione): ciò suggerisce che anche l'interazione gravitazionale si propaghi lungo l'asse di simmetria dell'elettrone.
Nota: mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si verifica nel centro di carica elettrica (vedi il post precedente).

Assumendo questa condizione come ipotesi, calcoliamo il potenziale gravitazionale di un disco piatto di massa m₀ e raggio r lungo il suo asse di simmetria rotazionale Y; per farlo usiamo la classica Legge di gravitazione universale di Newton dato che la massa dell'elettrone può considerarsi del tutto trascurabile**.
Tale legge prevede che il potenziale gravitazionale esercitato da un punto di massa infinitesima dm a distanza X sia

dV_g(X)=-Gdm/X     (15.1)

e quindi per una massa puntiforme di massa m il potenziale risulta pari a (integrando sulla massa):

V_g(X)=-Gm/X.     (15.2)

Nota: qui indichiamo con X una distanza e non l'asse X del riferimento del centro di massa dell'elettrone.

Introduciamo quindi la densità di massa uniforme del disco dell'elettrone esteso:

ρ=m/S     (15.3)

dove S=πr² è la superficie del disco (vedi eq.3.6) mentre m è la massa misurata dell'elettrone***.
Ora la variazione dm della massa rispetto alla superficie S è per ipotesi costante cioè

dm/dS=ρ     (15.4)

inoltre la variazione dS della superficie rispetto ad un punto R del raggio r è (con 0<R<r):

dS/dR=2πR.     (15.5)

Dalla eq.15.4 si ottiene perciò la variazione dm della massa rispetto a R:

dm=ρdS=ρ2πRdR     (15.6)

che in pratica rappresenta la massa di un anello infinitesimo di raggio R e spessore dR.

Se quindi consideriamo un punto qualsiasi del disco distante R dal centro, la sua distanza X da un punto y fissato dell'asse di simmetria Y è pari a X=(y²+R²)^1/2 perciò il potenziale gravitazionale esercitato in y dall'anello di massa dm e raggio R è (secondo la eq.15.1 e per la simmetria dell'anello):

dV_g(y)=-Gdm/(y²+R²)^1/2=-Gρ2πRdR/(y²+R²)^1/2     (15.7)

essendo dm=ρ2πRdR (vedi eq.15.6) e dove ρ=m/S=m/πr² (vedi eq.15.3).
Infine integrando dV_g(y) su tutti gli anelli del disco massivo (da 0 al raggio r) si ottiene in un punto y fissato:

V_g(y)=-Gρ2π(y²+R²)^1/2|_o^r=-2(Gm/r²)[(y²+r²)^1/2-y].     (15.8)

Perciò risulta subito evidente che nel punto y=0 (punto critico per una particella puntiforme), si ottiene il valore finito:

V_g(0)=-2(Gm/r).     (15.9)

Nota: se vogliamo riottenere la eq.15.7 dobbiamo derivare V_g(y) (eq.15.8) rispetto a R poiché y è fissato.

Quindi poiché il valore del raggio dell'elettrone è r=h/2πm₀c=3,87x10^-13 m (vedi eq.2.5) mentre m=9,11x10⁻³¹ kg è la massa dell'elettrone e G=6,67x10⁻¹¹ Nm²/kg² è la costante di gravitazione universale si ha (in y=0):

V_g(0)=3,14 10^-28 J/Kg     (15.10)

che è un valore finito e del tutto diverso da quello di una particella puntiforme che tende ad infinito per y->0.

Come ci aspettavamo il modello esteso dell'elettrone prevede quindi un comportamento diverso del potenziale gravitazionale rispetto ad una particella massiva puntiforme (si confrontino la eq.15.2 e la eq.15.8) e tale differenza dovrebbe essere rilevabile sperimentalmente in un acceleratore di particelle, in particolare quando y->0.

Nota: mentre l'intensità dell'interazione elettrica statica è la stessa del caso classico dato che la carica elettrica del modello è puntiforme e per ipotesi si verifica nel centro di carica elettrica nel suo riferimento di tipo spazio (vedi post).

 

Tuttavia eventuali esperimenti di scattering tra particelle cariche difficilmente potrebbero verificare il potenziale gravitazionale prima derivato (vedi eq.15.8), poiché questo sarebbe schermato dal potenziale elettrico che per y->0 tende ad infinito, rispetto al potenziale gravitazionale che nel modello esteso ha un valore finito (vedi la eq.15.9).

Nota: nel modello classico dell'elettrone puntiforme il rapporto tra il potenziale elettrico e quello gravitazionale è costante e pari a circa 10³¹ indipendentemente dalla distanza y dall'elettrone (dato che entrambi i potenziali vanno come 1/y).

Per verificare sperimentalmente l'estensione dell'elettrone, potremmo forse utilizzare dei fotoni (che non sono soggetti alla forza elettrica) scegliendoli di lunghezza d'onda tale che sia minore del raggio dell'elettrone r=λ/2π (per avere un buon potere risolutivo) e cioè fotoni di energia hν>2πhc/λ=2m₀c² (essendo λ/2π=h/2πm₀c secondo la eq.2.5); tuttavia ciò darebbe luogo alla produzione di coppie elettrone-positrone di energia E>2m₀c² compromettendo l'esperimento.
Nota: in ogni caso nello spazio-tempo il fotone non può evidenziare la massa estesa del modello che è una proprietà dello spazio/tempo interno del modello (vedi il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").

Inoltre come già anticipato nel post "La divergenza 'discreta' del modello esteso", mentre l'interazione gravitazionale si verifica nel centro di massa che corrisponde al centro di carica magnetica e dipende dalla distribuzione della massa; l'interazione elettrica statica ha invece luogo nel centro di carica elettrica (nel suo riferimento di tipo spazio): in questo riferimento la carica è in quiete e puntiforme, come si verifica sperimentalmente fino a distanze di circa 10^-19 metri.

 

(*) Si suppone cioè che per qualsiasi angolo di interazione, rispetto ad una retta ideale fissata passante per il centro di massa, l'elettrone venga sempre osservato (misurato) nello stato up oppure down dello spin in modo equiprobabile (come del resto afferma la meccanica quantistica per lo stato di spin di una particella elementare come l'elettrone).

(**) Si verificano cioè le condizioni di approssimazione di un campo gravitazionale debole dove le previsioni della relatività generale, per piccoli potenziali e basse velocità, sono indistinguibili dalla teoria newtoniana (vedi Wikipedia).
(***) Come vedremo nei prossimi post la massa misurata dell'elettrone è pari a m>m₀ dove m₀ è la massa nuda dell'elettrone, cioè priva dell'energia di campo (come spiegato nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").

[Per confrontare i due potenziali, quello classico della eq.15.2 e quello del modello esteso della eq.15.8, si può usare la calcolatrice grafica di GeoGebra ponendo per semplicità G=m=1 e r=10^-3 (non è necessario porre r≈10^-13)]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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