15 - L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso

Come descritto nel post "Carica puntiforme e massa estesa" il modello dell'elettrone presuppone che la massa sia distribuita in modo uniforme sul disco rotante di raggio r=λ/2π (vedi eq.2.4). Inoltre, come già anticipato (vedi "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" e "Il momento angolare dell'elettrone esteso"), si suppone che il disco massivo venga sempre misurato nello spazio-tempo classico in soli due stati (up e down)* rispetto al proprio asse di simmetria (quello di rotazione): ciò suggerisce che anche l'interazione gravitazionale si propaghi lungo l'asse di rotazione del modello.
Nota: mentre nel caso dell'interazione elettrica questa si propaga dal centro di carica elettrica (vedi il post precedente).

Supponiamo quindi che l'interazione gravitazionale si propaghi sempre lungo l'asse Y di rotazione del disco elementare: in figura mostriamo la sovrapposizione di alcuni degli infiniti stati di spin del modello lungo cui può propagarsi l'interazione.
Inoltre, una volta definito l'asse lungo cui avviene l'interazione gravitazionale, il potenziale generato dall'elettrone in un punto dello spazio può essere calcolato assumendo (vedi oltre) che la massa sia distribuita sul disco di raggio r.
Nota: in realtà come vedremo è il raggio medio <r> quello che definisce il moto circolare della carica elettrica.

Assumendo quindi questa condizione come ipotesi, calcoliamo il potenziale gravitazionale di un disco di massa m₀ e raggio r lungo il suo asse di simmetria rotazionale che chiameremo Y: per farlo usiamo la classica Legge di gravitazione universale di Newton dato che la massa dell'elettrone può considerarsi del tutto trascurabile**.

Ricordiamo che la legge classica di gravitazione prevede che il potenziale gravitazionale elementare dV_g esercitato da un punto di massa infinitesima dm a distanza X sia (dove G è la costante gravitazionale):

dV_g(X)=-Gdm/X     (15.1)

e quindi per una massa puntiforme di massa m il potenziale risulta pari a (integrando sulla massa):

V_g(X)=-Gm/X.     (15.2)

Nota: qui indichiamo con X una distanza qualsiasi e non l'asse X del riferimento del centro di massa dell'elettrone.

Introduciamo perciò la densità di massa uniforme del disco elementare dell'elettrone esteso:

ρ=m/S     (15.3)

dove S=πr² è la superficie del disco (vedi eq.3.6) mentre m è la massa misurata dell'elettrone***.
Ora la variazione dm della massa rispetto alla superficie S è per ipotesi costante cioè

dm/dS=ρ     (15.4)

inoltre la variazione dS della superficie rispetto ad un punto R del raggio r è (con 0<R<r):

dS/dR=2πR.     (15.5)

Dalla eq.15.4 si ottiene perciò la variazione dm della massa rispetto a R:

dm=ρdS=ρ2πRdR     (15.6)

che in pratica rappresenta la massa di un anello infinitesimo di raggio R e spessore dR.

Se quindi consideriamo un punto qualsiasi del disco distante R dal centro, la sua distanza X da un punto y qualsiasi dell'asse di simmetria Y è pari a X=(y²+R²)^1/2 perciò il potenziale gravitazionale esercitato in y dall'anello di massa dm e raggio R è (secondo la eq.15.1 e per la simmetria dell'anello):

dV_g(y)=-Gdm/(y²+R²)^1/2=-Gρ2πRdR/(y²+R²)^1/2     (15.7)

essendo dm=ρ2πRdR (vedi eq.15.6) e dove ρ=m/S=m/πr² (vedi eq.15.3).
Infine integrando dV_g(y) su tutti gli anelli del disco massivo (da 0 al raggio r) si ottiene in un punto y fissato:

V_g(y)=-Gρ2π(y²+R²)^1/2|_o^r=-2(Gm/r²)[(y²+r²)^1/2-y]     (15.8)

che rappresenta quindi il potenziale gravitazionale dell'elettrone esteso.
Nota: se vogliamo riottenere la eq.15.7 dobbiamo derivare V_g(y) (vedi eq.15.8) rispetto a R poiché y è fissato.

Perciò risulta subito evidente che nel punto y=0 (punto critico per una particella puntiforme), si ottiene il valore finito:

V_g(0)=-2(Gm/r).     (15.9)

Quindi poiché il valore del raggio dell'elettrone è r=h/2πm₀c=3,87x10^-13 m (vedi eq.2.5), m=9,11x10⁻³¹ kg è la massa dell'elettrone e G=6,67x10⁻¹¹ Nm²/kg² è la costante di gravitazione universale si ha (in y=0):

V_g(0)=3,14 10^-28 J/Kg     (15.10)

che è un valore molto piccolo e del tutto diverso da quello di una particella puntiforme che tende ad infinito per y->0.
Nota: invece per y>r si ha correttamente che V_g(y)≈ -Gm/y come nel caso classico; infatti ricordando che per y>r si ha (1+r²/y²)^1/2≈1+(1/2)r²/y² quindi V_g(y)=-2(Gm/r²)[(y²+r²)^1/2-y]=-2(Gm/r²)y[(1+r²/y²)^1/2-1]≈ -Gm/y.

Come ci aspettavamo il modello esteso dell'elettrone prevede un comportamento diverso del potenziale gravitazionale rispetto ad una particella massiva puntiforme (si confrontino la eq.15.2 e la eq.15.8) e tale differenza dovrebbe essere rilevabile sperimentalmente in un acceleratore di particelle, in particolare quando y->0: in effetti questo sarebbe l'unico modo per inferire l'estensione della massa che, ricordiamo, per ipotesi non è rilevabile dallo spazio-tempo esterno al modello (dato che l'interazione con la massa estesa avviene solo lungo l'asse di rotazione del disco).

Nota: mentre l'intensità dell'interazione elettrica statica è la stessa del caso classico dato che la carica elettrica del modello è puntiforme e per ipotesi si propaga dal centro di carica elettrica nel suo riferimento di tipo spazio (vedi post).

 

Tuttavia ad oggi eventuali esperimenti di scattering tra elettroni non sono in grado di verificare il potenziale gravitazionale prima derivato (vedi eq.15.8), poiché questo è schermato dal potenziale elettrico che per y->0 tende ad infinito, mentre il potenziale gravitazionale nel modello dell'elettrone esteso ha un valore finito (vedi la eq.15.9).

Anche lo scattering tra elettroni e protoni a causa della struttura complessa e non puntiforme di questi ultimi non è il sistema migliore per sondare l'interazione gravitazionale di un elettrone, soprattutto alle energie oggi disponibili.

Nota: nel modello classico il rapporto tra il potenziale elettrico e quello gravitazionale è costante e pari a circa 10³¹ indipendentemente dalla distanza y dall'elettrone (dato che entrambi i potenziali vanno come 1/y).

Per verificare l'estensione dell'elettrone, potremmo forse utilizzare dei fotoni (che non sono soggetti alla forza elettrica) scegliendoli di lunghezza d'onda minore del raggio dell'elettrone r=λ/2π (per ottenere un buon potere risolutivo) e cioè fotoni di energia hν>2πhc/λ=2m₀c² (essendo λ/2π=h/2πm₀c secondo la eq.2.5); tuttavia ciò darebbe luogo alla produzione di coppie elettrone-positrone di energia E>2m₀c² compromettendo l'esperimento. Ma in ogni caso, nello spazio-tempo il fotone non può evidenziare l'estensione dell'elettrone che è una proprietà definita nello spazio/tempo interno del modello (vedi anche il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").

Ricordiamo infine, come anticipato nel post "La divergenza 'discreta' del modello esteso", che mentre l'interazione gravitazionale si propaga dal centro di massa (che corrisponde al centro di carica magnetica) e dipende dalla distribuzione della massa, l'interazione elettrica si origina dal centro di carica elettrica (nel riferimento di tipo spazio): in questo riferimento la carica è definita in quiete ed è puntiforme, come è stato verificato fino a distanze di circa 10^-19 m.
Nota: per chiarire cosa si intende con elettrone in quiete vedi il post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso".

 

(*) Si suppone cioè che per qualsiasi angolo di interazione, rispetto ad una retta ideale fissata passante per il centro di massa, l'elettrone venga sempre misurato nello stato up oppure down dello spin in modo equiprobabile (come del resto afferma la meccanica quantistica per lo stato di spin di una particella elementare come l'elettrone).

(**) Si verificano cioè le condizioni di approssimazione di un campo gravitazionale debole dove le previsioni della relatività generale, per piccoli potenziali e basse velocità, sono indistinguibili dalla teoria newtoniana (vedi Wikipedia).
(***) Come vedremo nei prossimi post la massa misurata dell'elettrone è pari a m>m₀ dove m₀ è la massa nuda dell'elettrone, cioè priva dell'energia di campo (come spiegato nel post "Perché un modello esteso dell'elettrone?").

[Per un confronto qualitativo del potenziale classico della eq.15.2 con quello del modello esteso della eq.15.8, si può usare la calcolatrice grafica di GeoGebra ponendo per semplicità G=m=1 e r=10^-3 (non è necessario porre r≈10^-13)]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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