23 - L'energia di punto zero dell'elettrone esteso

Nel precedente post "L'energia potenziale del disco massivo" abbiamo mostrato che la massa m₀ dell'elettrone, distribuita sulla superficie del disco in rotazione, oltre ad avere una energia cinetica pari a E_k=(1/3)m₀c² (vedi eq.21.11), possiede una energia potenziale E_p=-(1/2)m₀c² (vedi eq.22.8) che mantiene confinata la configurazione massiva del disco in rotazione.

Nota: ricordiamo che la stabilità è stata assunta come condizione necessaria per derivare l'energia potenziale.

Poiché abbiamo supposto che il centro di massa del disco coincida con la carica magnetica che è per ipotesi in quiete nel sistema di riferimento di tipo spazio (vedi il post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso"), allora in questo riferimento il centro di massa dell'elettrone si trova in uno stato di energia cinetica nulla (ricordiamo che c nello spazio/tempo va inteso come un parametro del modello e non è la velocità della carica elettrica/magnetica lungo λ).
Nota: per chiarimenti sui riferimenti di tipo spazio/tempo vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica".

Nella seguente figura abbiamo rappresentato la carica magnetica in quiete col suo riferimento di tipo spazio in un punto della circonferenza λ rappresentata come al solito da un segmento di retta ∆y=λ/2 lungo l'asse Y del riferimento*:

Tuttavia dobbiamo considerare che mentre la carica magnetica è collocata nello spazio/tempo interno al modello (nel riferimento di tipo spazio), il centro di massa viene osservato nello spazio-tempo esterno; ciò significa che nello spazio-tempo la sua posizione (poniamo lungo l'asse X del laboratorio) è soggetta al Principio di indeterminazione di Heisenberg:

∆x∆p≥h/4π

dove ∆x è l'incertezza sulla posizione mentre ∆p è l'incertezza sulla quantità di moto lungo l'asse X del laboratorio.

Nota: ricordiamo che nello spazio-tempo esterno il centro di carica magnetica viene osservato come centro di massa.

 

A questo punto facciamo la seguente ipotesi.

È noto che nella teoria quantistica dei campi, il vuoto è lo stato di minima energia del campo. Per un campo libero, ciascun modo di periodo T si comporta come un oscillatore armonico quantistico: a oscillare sono le grandezze del campo, senza che sia necessario immaginare una massa materiale in movimento.

Come è possibile derivare, le energie possibili del modo sono: 

E₀=(1/2+n)h/T     (23.1) 

dove il numero n=0, 1, 2, 3, ... indica quanti quanti di eccitazione sono presenti nel modo.

Nel vuoto si pone n = 0 cioè non sono presenti quanti, ma resta l’energia di punto zero**:

E₀=(1/2)h/T     (23.2)

dove T è il periodo caratteristico del modo. Il vuoto perciò è uno stato stazionario: questa energia non implica un’oscillazione classica del campo o il moto di una particella lungo una traiettoria. 

 

Ora, nel nostro modello ipotizziamo che alla carica magnetica, in quiete nel riferimento di tipo spazio interno, sia associato un modo del campo di periodo T=λ/c (vedi eq.2.2) dove come sappiamo λ=h/m₀c (eq.2.3) è la caratteristica geometrica fondamentale del modello, da cui segue:

E₀=(1/2)m₀c²     (23.3). 

Questa energia è attribuita al modo interno, non al moto del centro di massa nello spazio-tempo esterno.

Se perciò sommiamo l'energia potenziale E_p=-(1/2)m₀c² (vedi eq.22.8) del disco in rotazione, all'energia di punto zero E₀=(1/2)m₀c² appena ricavata, si ottiene complessivamente una energia nulla:

E_i=E₀+E_p=0     (23.4).

Questo fatto può essere interpretato osservando che E_i definisce l'energia interna del modello le cui componenti E₀ e E_p, essendo a somma zero, non incidono per ipotesi sulla massa misurata dell'elettrone***.
 

Ciò conferma che l'energia misurata della particella nello spazio-tempo è quella già definita dalla eq.18.11 ed è data dall'energia di massa nuda sommata a quella del suo campo elettrico (senza cioè tener conto dell'energia interna E_i):

mc²=m₀c²+eV/(1+2π/α)

dove α indica la costante di struttura fine; quindi come abbiamo già visto con la eq.19.1 risulta:

mc²=m₀c²(1+1/(1+2π/α))

dove il fattore 1/(1+2π/α) (vedi eq.19.6) rappresenta l'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso.

 

Nel prossimo post chiariremo meglio le differenze dello spazio/tempo interno del modello rispetto allo spazio-tempo classico, in cui sono valide le classiche equazioni di Maxwell (nella versione simmetrica).

(*) Poiché la carica magnetica è priva di massa e non irradia, abbiamo rappresentato (vedi il relativo post) la circonferenza λ lungo cui essa è vincolata come se fosse un segmento di retta (lungo l'asse Y del riferimento).
(**) Se il modo ha lo spettro di un oscillatore armonico, i suoi livelli energetici sono E_n=(n+1/2)h/T, dove T è il periodo associato al modo e n indica il numero di quanti di eccitazione: per n = 0 il modo è nello stato fondamentale.
(***) Il fatto che risulti E_i=0 è compatibile con la geometria piatta pseudo-euclidea interna del disco in rotazione (che ricordiamo è per ipotesi vincolato a ruotare su un piano bidimensionale nello spazio interno del modello).

[La condizione E_i=0 non è sufficiente da sola a dimostrare la geometria piatta dello spazio interno del modello.]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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