23 - L'energia di punto zero dell'elettrone esteso

Nel precedente post "L'energia potenziale del disco massivo" abbiamo mostrato che la massa m0 dell'elettrone, distribuita sulla superficie del disco in rotazione, oltre ad avere una energia cinetica pari a Ek=(1/3)m0c2 (vedi eq.21.11), possiede una energia potenziale Ep=-(1/2)m0c2 (vedi eq.22.8) che mantiene confinata la configurazione massiva del disco in rotazione.
Nota: ricordiamo che la stabilità è stata assunta come condizione necessaria per derivare l'energia potenziale.

Poiché abbiamo supposto che il centro di massa del disco coincida con la carica magnetica che è per ipotesi in quiete nel sistema di riferimento di tipo spazio (vedi il post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso"), allora in questo riferimento il centro di massa dell'elettrone si trova in uno stato di energia cinetica nulla (ricordiamo che c nello spazio/tempo va inteso come un parametro del modello e non è la velocità della carica elettrica/magnetica lungo λ).
Nota: per chiarimenti sui riferimenti di tipo spazio/tempo vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica".

Tuttavia dobbiamo considerare che mentre la carica magnetica è collocata nello spazio/tempo interno al modello (nel riferimento di tipo spazio), il centro di massa viene osservato nello spazio-tempo esterno; ciò significa che nello spazio-tempo la sua posizione (poniamo lungo l'asse Y del riferimento) è soggetta al Principio di indeterminazione di Heisenberg:
∆y∆p≥h/4π     (23.1)
dove ∆y è l'incertezza sulla posizione mentre ∆p è l'incertezza sulla quantità di moto lungo l'asse Y.
Nota: ricordiamo che nello spazio-tempo esterno il centro di carica magnetica viene osservato come centro di massa.

Ora, mentre il centro di carica magnetica è vincolato nello spazio/tempo lungo la circonferenza λ rappresentata da un segmento di retta* (posto lungo l'asse Y del riferimento di tipo spazio), possiamo invece supporre che il centro di massa osservato nel riferimento esterno dello spazio-tempo, appaia per ipotesi confinato lungo ∆y=λ/2 come descritto in figura (in pratica il riferimento di tipo spazio agisce come sistema di confinamento rispetto allo spazio-tempo esterno):


In figura abbiamo rappresentato la carica magnetica in quiete col suo riferimento di tipo spazio, tuttavia il centro di massa è osservato nello spazio-tempo esterno: in questo riferimento esso appare per ipotesi confinato in ∆y=λ/2.
Nota: il centro di massa dell'elettrone in quiete può trovarsi in un punto qualsiasi di λ/2 (ma non al di fuori di esso).

È noto che secondo la meccanica quantistica lo stato di una particella di massa m0, confinata in una buca di potenziale infinita a una dimensione (ad esempio l'asse Y), è descritto dalla equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:
-(h/2π)2(1/2m0)∂2𝜓(y)/∂y2=Ec𝜓(y)     (23.2)
dove 𝜓(y) è l'ampiezza di probabilità, h la costante di Planck e Ec è l'energia cinetica della particella.

Come già sappiamo la soluzione di questa equazione si ottiene imponendo le condizioni al contorno 𝜓(0)=𝜓(λ/2)=0 da cui si ricava che l'energia cinetica Ec=p2/2m0 è discretizzata (dove p è la quantità di moto della particella):
Ec=n2h2/8m0∆y2     (23.3)
con n=1, 2, 3... e dove per ipotesi ∆y=λ/2 come mostrato in figura.
Nota: poiché Ec=p2/2m0 allora dalla eq.23.3 per n=1 si ottiene p=h/λ=m0c essendo λ=h/m0c (vedi eq.2.3); quindi p=m0c può essere definita come la quantità di moto associata alla particella in quiete ed è pari a quella di un fotone di energia m0c2.

È chiaro che nel nostro caso dobbiamo calcolare l'energia di m0 ponendo n=1 poiché questo è lo stato di minima energia per la particella che è supposta in quiete rispetto al sistema di riferimento considerato, perciò risulta:
E0=h2/2m0λ2=(1/2)m0c2     (23.4)
essendo λ=h/m0c (vedi eq.2.3) e dove E0 è detta energia di punto zero**.
Nota: l'energia di punto zero si presenta sempre in condizioni di confinamento di un sistema quantistico, in questo caso è il riferimento di tipo spazio a confinare il centro di massa su cui è vincolato (in ∆y=λ/2).

Se perciò sommiamo l'energia potenziale Ep=-(1/2)m0c2 (vedi eq.22.8) del disco in rotazione, all'energia di punto zero E0=(1/2)m0c2 appena ricavata, si ottiene complessivamente una energia nulla:
Ei=E0+Ep=0.     (23.5)
Questo fatto può essere interpretato osservando che Ei definisce l'energia interna del modello le cui componenti E0 e Ep, essendo a somma zero, non incidono per ipotesi sulla massa misurata dell'elettrone***.
 
Ciò conferma che l'energia misurata della particella nello spazio-tempo è quella già definita dalla eq.18.11 ed è data dall'energia di massa nuda sommata a quella del suo campo elettrico (senza cioè tener conto dell'energia interna Ei):
mc2=m0c2+eV/(1+2π/α)
dove α indica la costante di struttura fine; quindi come abbiamo già visto con la eq.19.1 risulta:
mc2=m0c2(1+1/(1+2π/α))
dove il fattore 1/(1+2π/α) (vedi eq.19.6) rappresenta l'anomalia del momento magnetico dell'elettrone esteso.
 
Nel prossimo post chiariremo meglio le differenze dello spazio/tempo interno del modello rispetto allo spazio-tempo classico in cui sono valide le note equazioni di Maxwell (nella versione simmetrica).

(*) Poiché la carica magnetica è priva di massa e non irradia, abbiamo rappresentato (vedi il relativo post) la circonferenza λ lungo cui essa è vincolata come se fosse un segmento di retta (lungo l'asse Y del riferimento); si osservi inoltre che nello spazio/tempo interno il principio di indeterminazione non è ovviamente applicabile (alle cariche elettrica/magnetica).
(**) Si otterrebbe lo stesso risultato per l'energia di punto zero se si considerasse come ipotesi quella di un oscillatore armonico quantistico di periodo T (come se il centro di massa oscillasse tra i due estremi di ∆y=λ/2) per il quale risulterebbe infatti per lo stato fondamentale E0=(1/2)h/T=(1/2)m0c2 (essendo T=λ/c e λ=h/m0c).
(***) Il fatto che risulti Ei=0 potrebbe forse spiegare la geometria piatta pseudo-euclidea interna del disco in rotazione (che ricordiamo è per ipotesi vincolato a ruotare su un piano bidimensionale nello spazio interno del modello).
[Qui si presume che se l'energia è nulla anche la curvatura è nulla, come prevede la Relatività generale nello spazio-tempo quando il tensore energia-impulso è nullo]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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