11 - Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso

Introduciamo ora le equazioni che legano i campi e.m. che definiscono la configurazione del modello esteso, relative al centro di carica elettrica oppure magnetica, come descritto nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica".
Nota: come vedremo utilizzeremo le classiche equazioni simmetriche di Maxwell adattandole al modello esteso dello spazio/tempo (vedi in particolare la nota (*) del post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").

Come mostreremo di seguito, il sistema di equazioni che ora introdurremo descrive il modello e.m. esteso di due diverse configurazioni: quella dell'elettrone e quella del monopolo magnetico. In funzione del riferimento fissato come centro di massa (riferimento di tipo spazio), possiamo descrivere i campi e.m. di una o dell'altra particella*.
Nota: nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica" abbiamo definito il centro di massa dell'elettrone che nel riferimento di tipo spazio coincide col centro di carica magnetica.

Anticipiamo subito che i campi e.m. E e B qui descritti agiscono sulle rispettive cariche (elettrica o magnetica) a differenza delle induzioni e.m. D e H che invece sono emesse dalle stesse cariche (e che verranno descritte nel post "La divergenza "discreta" del modello"): esse sono legate tra loro dalle relazioni D=εE (vedi eq.14.5) e H=B/µ (eq.14.6). Inoltre, per ipotesi, queste due relazioni esprimono l'autointerazione dei campi e.m. della cariche su se stesse (vedi il relativo post).
Nota: l'autointerazione dei campi e.m. E(t), D(x) e B(t), H(y) rispettivamente, avviene nei relativi riferimenti spazio/tempo.

Introduciamo quindi le equazioni dei campi e.m. rispetto ai relativi centri di carica elettrica oppure magnetica:
Centro di carica elettrica:

(1/i2π)rotE(x,t)=J(y,t)⊕(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.1)
dove per definizione poniamo
J(y,t)=V(y,t)/S.     (11.2)
Nota: il segno separa le equazioni nel riferimento di tipo spazio (cioè con t=0) da quelle relative al riferimento di tipo tempo (con x,y=0), come illustreremo di seguito.

Centro di carica magnetica:
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x,t)⊕(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.3)
dove come sopra definiamo
Jm(x,t)=Vm(x,t)/S.     (11.4)

Ricordiamo che V e Vm indicano rispettivamente la f.e.m. della carica elettrica o magnetica (vedi eq.10.2 ed eq.10.4) cioè:
V(y,t)=(1/i2π)øm(x,t)/∂t=øm(y,t)/T   e   Vm(x,t)=(1/i2π)rotøm(y,t)=øm(x,t)/λ
mentre il flusso magnetico øm è stato così definito (vedi eq.5.2):
øm(x,t)=B(x,t)S.
Nota: come già detto con f.e.m. indichiamo per semplicità sia la forza motrice elettrica che quella magnetica.

Possiamo quindi riscrivere la eq.11.1 e la eq.11.3 in modo da rendere evidente la separazione tra spazio e tempo:
(1/i2π)rotE(x,t)=J(y)⊕J(t)     (11.5)
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x)⊕Jm(t)     (11.6)
avendo posto (in x,y=0):
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.7)
e
Jm(t)=(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.8)
e dove J(y) e Jm(x) sono calcolati in t=0.

Si osservi inoltre che se consideriamo J vale la seguente corrispondenza per i valori di J(y) e J(t) nello spazio/tempo:
J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)   <=>   J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t      (11.9)
dove J(y) è definito nel riferimento di tipo spazio mentre J(t) in quello di tipo tempo.
Ed essendo E=cB (vedi eq.9.7) e J=cJm (eq.13.1) si ha in modo del tutto simmetrico per Jm:
Jm(x)=(1/i2π)rotB(y,t)   <=>   Jm(t)=(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t      (11.10)
dove Jm(y) è definito nel riferimento di tipo spazio mentre Jm(t) in quello di tipo tempo.

Questa simmetria non è una sorpresa dato che le equazioni del modello sono derivate dalle equazioni simmetriche di Maxwell come mostreremo meglio nel post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico".
Nota: nel post "Le leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso" discuteremo la completa simmetria tra J(y,t) e Jm(x,t).

Vediamo quindi, nelle seguenti figure, come possono essere rappresentati i campi e.m. rispetto al centro di carica elettrica oppure al centro di carica magnetica (di tipo spazio oppure di tipo tempo), con le relative equazioni prima introdotte.

Innanzitutto supponiamo che, essendo le cariche elettrica e magnetica prive di massa e non essendoci per ipotesi effetti e.m. prodotti dal loro moto circolare (poiché ci troviamo nello spazio/tempo interno al modello**), possiamo rappresentare la circonferenza λ lungo cui esse sono vincolate come se fosse un segmento di retta dell'asse di riferimento considerato.
Nota
: si osservi che la direzione dei campi e.m. indicata nelle figure (in x,y=0 oppure t=0) non può essere definita nello spazio/tempo interno al modello (vedi il post "I valori dei campi elettromagnetici del modello").

Centro di carica elettrica
- Campo statico (tipo spazio: t=0):

J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)     (11.11)


- Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0):
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.12)


Centro di carica magnetica
- Campo statico (tipo spazio: t=0):
Jm(x)=(1/i2π)rotB(y,t)     (11.13)


- Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0):
Jm(t)=(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.14)



Abbiamo quindi descritto i campi e.m. interni del modello esteso dove è definito lo spazio/tempo (spazio oppure tempo), mentre esternamente al modello nello spazio-tempo classico questi campi non sono definiti. Si noti infatti che il verso di J e Jm di tipo tempo è stato scelto opposto a quello di tipo spazio: in questo modo nello spazio-tempo i due vettori si elidono avendo lo stesso punto di applicazione (cioè la carica elettrica/magnetica lungo l'asse X oppure Y).
Nota: per altri chiarimenti vedi il post conclusivo "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico".

A titolo del tutto euristico osserviamo come i campi e.m. delle cariche elettrica/magnetica sono perpendicolari al tratto λ su cui è confinata la carica: nello spazio-tempo classico ciò sarebbe giustificato dal fatto che la carica priva di massa si muove a velocità c e quindi per effetto relativistico il campo e.m. da essa generato sarebbe perpendicolare al moto.

Ora come si può dedurre dalle rappresentazioni dei campi e.m., nello spazio/tempo sono possibili esclusivamente due tipi di configurazione se consideriamo insieme la carica elettrica quella magnetica per ogni singola configurazione, cioè:
I) Centro di carica magnetica di tipo spazio (vedi eq.11.13) centro di carica elettrica di tipo tempo (eq.11.12);
oppure
II) Centro di carica elettrica di tipo spazio (vedi eq.11.11) centro di carica magnetica di tipo tempo (eq.11.14).
Nota: il segno indica (come sopra) la separazione spazio/tempo dei centri di carica di tipo spazio oppure tempo.

Se inoltre supponiamo che il centro di massa possa coincidere esclusivamente col riferimento di tipo spazio (nel centro di carica elettrica oppure magnetica) si hanno solo due possibili modelli massivi (poiché il riferimento di tipo tempo essendo privo di estensione spaziale non può contenere massa estesa):
I) La prima configurazione, dove il centro di carica magnetica coincide col centro di massa nel riferimento di tipo spazio, descrive per ipotesi il modello dell'elettrone (come già descritto nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica");
oppure
II) La seconda configurazione possibile, dove il centro di carica elettrica corrisponde al centro di massa nel riferimento di tipo spazio, rappresenta il monopolo magnetico (la massa m0 è distribuita sul disco delimitato dalla linea di campo B).
Nota: il fatto che non siano stati rivelati monopoli magnetici estesi di massa m0 ci induce a ipotizzare una rottura di simmetria nelle equazioni simmetriche del modello, come vedremo in un prossimo post***.

Si noti infine che i riferimenti di tipo spazio, rispettivamente quello della carica elettrica nel modello dell'elettrone oppure quello della carica magnetica nel monopolo magnetico, verranno utilizzati di nuovo nel post "La divergenza "discreta" del modello esteso" per definire i valori dell'induzione elettrica D e dell'induzione magnetica H entrambe statiche.
Nota: come dicevamo sopra le relazioni D=εE (vedi eq.14.5) e H=B/µ (eq.14.6) esprimono l'autointerazione spazio/tempo dei campi e.m. della cariche su se stesse: E(t) e B(t) agiscono sulle cariche mentre D(x) e H(y) sono emesse da esse.

(*) Per chiarimenti sui riferimenti spazio/tempo dei centri di carica elettrica/magnetica vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica" dove è stato introdotto il modello esteso dell'elettrone.
(**) Come vedremo nei prossimi post, lo spazio/tempo (spazio oppure tempo) definito internamente al modello è delimitato dalla superficie A=λ2 (vedi eq.13.11), mentre esternamente al modello ritroviamo il classico spazio-tempo.
(***) Questa ipotesi verrà approfondita nel post "Le Leggi di Ampère, Farady e il modello esteso" dove abbiamo introdotto il segno meno nella eq.11.14 che impedisce la risonanza e.m. e quindi la stabilità del monopolo magnetico.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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