11 - Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso

In questo post introduciamo le equazioni che legano i campi e.m. che definiscono la configurazione del modello esteso, relative al centro di carica elettrica oppure magnetica nei riferimenti dello spazio/tempo; mentre nel prossimo post ricaveremo le soluzioni di queste equazioni, cioè i valori del campo elettrico E e magnetico B.
Nota: di seguito utilizzeremo le classiche equazioni simmetriche di Maxwell adattandole al modello esteso definito nello spazio/tempo (vedi anche la nota (*) del post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").

Come mostreremo di seguito, il sistema di equazioni che ora introdurremo descrive il modello e.m. esteso di due diverse configurazioni: quella dell'elettrone e quella del monopolo magnetico. In funzione del riferimento fissato come centro di massa (che è sempre un riferimento di tipo spazio), possiamo descrivere i campi e.m. di una o dell'altra particella*.
Nota: nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica" abbiamo definito il centro di massa dell'elettrone che nel riferimento di tipo spazio coincide col centro di carica magnetica.

Introduciamo quindi le equazioni dei campi e.m. rispetto ai relativi centri di carica elettrica oppure magnetica definite nello spazio/tempo (che abbiamo introdotto nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica"):

Centro di carica elettrica

Nel riferimento del centro di carica elettrica vale la seguente relazione tra i campi e.m. (nello spazio/tempo):

(1/i2π)rotE(x,t)=J(y,t)⊕(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.1)

dove abbiamo utilizzato la definizione di Derivata (vedi eq.8.8) e di Rotore (eq.8.9) applicati al modello e dove per definizione poniamo, ricordando che S è la superficie della spira (vedi eq.3.6):

J(y,t)=V(y,t)/S.     (11.2)

Nota: il simbolo di somma ⊕ separa le equazioni nel riferimento di tipo spazio (cioè con t=0) da quelle relative al riferimento di tipo tempo (con x,y=0), come illustreremo di seguito.

Centro di carica magnetica

In questo riferimento avremo invece la seguente relazione tra i campi e.m. (sempre nello spazio/tempo):

(1/i2π)rotB(y,t)=J_m(x,t)⊕(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.3)

dove come sopra definiamo

J_m(x,t)=V_m(x,t)/S.     (11.4)

Ricordiamo che V e V_m indicano rispettivamente la f.e.m. della carica elettrica e magnetica (vedi eq.10.2 ed eq.10.4):

V(y,t)=(1/i2π)∂ø_m(x,t)/∂t=ø_m(y,t)/T   e   V_m(x,t)=(1/i2π)rotø_m(y,t)=ø_m(x,t)/λ

mentre il flusso magnetico ø_m è stato così definito (vedi eq.5.2):

ø_m(x,t)=B(x,t)S.

Nota: come già detto con f.e.m. indichiamo per semplicità sia la forza motrice elettrica V che quella magnetica V_m.

Equazioni dei campi e.m. nello spazio/tempo

Possiamo quindi riscrivere la eq.11.1 e la eq.11.3 in modo da rendere evidente la separazione tra spazio e tempo:

(1/i2π)rotE(x,t)=J(y)⊕J(t)     (11.5)

(1/i2π)rotB(y,t)=J_m(x)⊕J_m(t)     (11.6)

avendo posto (in x,y=0):

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.7)

e

J_m(t)=(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.8)

e dove J(y) e J_m(x) sono calcolati in t=0.

Si osservi che vale la seguente corrispondenza per i valori di J(y) e J(t) nello spazio/tempo:

J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)   <=>   J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t      (11.9)

dove J(y) è definito nel riferimento di tipo spazio mentre J(t) in quello di tipo tempo.
Ed inoltre essendo E=cB (vedi eq.9.7) e J=cJ_m (eq.13.1) si ha in modo del tutto simmetrico per J_m:

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)   <=>   J_m(t)=(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t      (11.10)

dove J_m(y) è definito nel riferimento di tipo spazio mentre J_m(t) in quello di tipo tempo.

Nota: nel post "Le leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso" discuteremo la completa simmetria tra J(y,t) e J_m(x,t).

Raffigurazione dei campi e.m. nei rispettivi centri di carica elettrica/magnetica
Facciamo innanzitutto la seguente ipotesi: essendo le cariche elettrica/magnetica prive di massa e non essendoci per ipotesi effetti e.m. prodotti dal loro moto circolare, possiamo rappresentare la circonferenza λ lungo cui esse sono vincolate come se fosse un segmento di retta dell'asse di riferimento considerato (X oppure Y).
Nota: si osservi inoltre che la direzione dei campi e.m. E o B indicata nelle figure (in x,y=0 oppure t=0) non può essere ben definita nello spazio/tempo interno al modello (vedi il post "I valori dei campi elettromagnetici del modello").

Vediamo quindi, nelle seguenti figure, come possono essere rappresentati i campi e.m. rispetto al centro di carica elettrica oppure al centro di carica magnetica (di tipo spazio oppure di tipo tempo), con le relative equazioni prima introdotte.

Centro di carica elettrica
- Campo statico (tipo spazio: t=0):

J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)     (11.11)

- Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0):

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (11.12)

Centro di carica magnetica
- Campo statico (tipo spazio: t=0):

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)     (11.13)

- Campo dinamico (tipo tempo: x,y=0):

J_m(t)=(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (11.14)

Abbiamo quindi descritto i campi e.m. interni del modello esteso** dove è definito lo spazio/tempo, mentre esternamente al modello nello spazio-tempo classico questi campi non sono definiti: si noti che il verso di J o J_m di tipo spazio è stato scelto opposto a quello di tipo tempo, in modo che nello spazio-tempo i due vettori si elidono (sovrapponendo i relativi riferimenti spazio/tempo) avendo lo stesso punto di applicazione (cioè la carica elettrica oppure magnetica).
Nota: altre considerazioni sul tema dei riferimenti sono in "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico".

Ora, come si può dedurre dalle rappresentazioni dei campi e.m., nello spazio/tempo sono possibili esclusivamente due tipi di configurazione se consideriamo sia la carica elettrica che quella magnetica per ogni singola configurazione e cioè quelle che si ottengono considerando rispettivamente:
I) Centro di carica magnetica di tipo spazio (vedi eq.11.13) ⊕ centro di carica elettrica di tipo tempo (eq.11.12);
oppure
II) Centro di carica elettrica di tipo spazio (vedi eq.11.11) ⊕ centro di carica magnetica di tipo tempo (eq.11.14).
Nota: il simbolo ⊕ indica (come sopra) la separazione spazio/tempo dei centri di carica di tipo spazio oppure tempo.

Se inoltre supponiamo che il centro di massa possa coincidere esclusivamente col riferimento di tipo spazio (nel centro di carica elettrica oppure magnetica) si hanno solo due possibili modelli massivi (poiché il riferimento di tipo tempo essendo privo di estensione spaziale non può contenere massa estesa):
I) La prima configurazione, dove il centro di carica magnetica coincide col centro di massa nel riferimento di tipo spazio, descrive per ipotesi il modello dell'elettrone (come già descritto nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica");
oppure
II) La seconda configurazione possibile, dove il centro di carica elettrica corrisponde al centro di massa nel riferimento di tipo spazio, rappresenta il monopolo magnetico (la massa m₀ è distribuita sul disco delimitato dalla linea di campo B).
Nota: il fatto che non siano stati rivelati monopoli magnetici estesi di massa m₀ ci induce a ipotizzare una rottura di simmetria nelle equazioni simmetriche del modello, come vedremo in un prossimo post***.

Si noti infine che i riferimenti di tipo spazio, rispettivamente quello della carica elettrica nel modello dell'elettrone oppure quello della carica magnetica nel monopolo magnetico, verranno utilizzati di nuovo nel post "La divergenza "discreta" del modello esteso" per definire i valori dell'induzione elettrica D e dell'induzione magnetica H entrambe statiche.

(*) Per chiarimenti sui riferimenti spazio/tempo dei centri di carica elettrica/magnetica vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica" dove è stato introdotto il modello esteso dell'elettrone.
(**) Come vedremo nei prossimi post, lo spazio/tempo definito internamente al modello è delimitato dalla superficie virtuale A=λ² (vedi eq.13.11), mentre esternamente al modello ritroviamo il classico spazio-tempo.
(***) Questa ipotesi verrà approfondita nel post "Le Leggi di Ampère, Farady e il modello esteso" dove abbiamo introdotto il segno meno nella eq.11.14 che impedisce la risonanza e.m. e quindi la stabilità del monopolo magnetico.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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