5 - La permittività e la permeabilità del modello

Nel post "Il momento magnetico dell'elettrone esteso" abbiamo ipotizzato la seguente relazione che lega l'energia dell'elettrone m₀c² alla corrente I=e/T che circola nella spira e al flusso quantizzato ø_m=h/e che l'attraversa (vedi eq.3.2):

m₀c²=ø_mI

è quindi evidente come tale relazione attribuisca alla massa nuda una origine elettromagnetica.
Nota: secondo il modello la massa totale dell'elettrone è di origine elettromagnetica (vedi il relativo post).

 

Supponiamo ora che la relazione che lega il flusso quantizzato ø_m al campo magnetico B che attraversa la superficie S della spira elementare del modello sia così definita (equazione poi derivata con la eq.12.5):

B=ø_m/S.     (5.1)

Inoltre all'interno del modello*, dove il flusso ø_m è per ipotesi quantizzato, supponiamo (al contrario di quanto accade in una spira classica di corrente) che esista una unica linea di campo magnetico B di forma circolare di raggio r (posta in corrispondenza della carica elettrica) concatenata alla linea di campo elettrico E lungo cui scorre la carica puntiforme, come illustrato in figura (la simmetria di questa particolare configurazione e.m. verrà discussa nel prossimo post):

Nota: abbiamo implicitamente supposto che la carica in moto circolare non emetta radiazioni e.m. e quindi sia stabile; inoltre si osservi che il raggio della linea circolare B è identico a quello della spira di corrente E (vedi eq.2.5).

A questo punto dobbiamo però verificare, seguendo l'analogia col caso classico, se questa configurazione e.m. è permessa dalla legge di Ampère la quale, applicata alla nostra particolare spira di corrente**, viene così espressa:

2πrB=µI     (5.2)

dove µ è la permeabilità magnetica del modello mentre I=ec/2πr (vedi eq.3.7) è la corrente che circola nella spira.
Nota: come mostreremo con la eq.13.4 risulta (1/i2π)rotB(y)=B(x)/λ=µI(x)/λ² e quindi 2πrB=µI essendo λ=2πr (eq.2.4).

Tuttavia affinché questa relazione sia soddisfatta, essendo come abbiamo posto per ipotesi B=ø_m/S=h/(eS) (vedi eq.5.1) dove ø_m=h/e (eq.3.3) ed essendo S=πr² (eq.3.6), deve risultare all'interno del modello (in modo da soddisfare la eq.5.2):

µ=4πh/ce²     (5.3)

che perciò è molto diversa dalla permeabilità del vuoto µ₀ risultando infatti con alcuni passaggi:

µ=µ₀(2π/α)     (5.4)

essendo α=e²/(2hε₀c) la costante di struttura fine (pari a circa 1/137) ed inoltre come è noto c²=1/(µ₀ε₀).

Infine affinché la relazione c²=1/(µε) resti valida anche all'interno del modello deve risultare (utilizzando la eq.5.3):

ε=e²/(4πhc)=ε₀(α/2π)     (5.5)

dove ε è per ipotesi la permittività elettrica del modello, diversa da quella del vuoto ε₀.
Nota: nello spazio/tempo interno al modello c rappresenta solo un parametro della teoria (vedi il relativo post).

Perciò, per quanto abbiamo mostrato, i valori di µ ed ε caratterizzano lo spazio interno toroidale del modello che per ipotesi è delimitato dalla linea di campo magnetico B (concatenata al campo elettrico E) della spira elementare***.

Nota: consideriamo cioè uno spazio confinato virtuale a forma toroidale centrato lungo la linea di campo E (vedi figura) di raggio r (eq.2.5) e superficie elementare A (eq.13.11) come verrà descritto più avanti nel relativo post.

(*) Nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso" descriveremo meglio come il modello sia delimitato da una superficie virtuale in cui sono definiti i valori e.m. del modello (vedi eq.13.11): un toro centrato lungo λ di raggio r (eq.2.4).
(**) La legge di Ampère applicata al modello è discussa nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso".
(***) Si osservi che i valori di µ (eq.5.3) ed ε (eq.5.5) sono espressi in funzione delle costanti elementari h, c ed e come se ciò indicasse un livello più fondamentale dello spazio vuoto (dove invece sono definiti i valori di µ₀ ed ε₀).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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