13 - Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso

Riportiamo qui di seguito le equazioni che legano tra loro i campi e.m. del modello esteso nello spazio/tempo e che abbiamo descritto nel paragrafo "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" (vedi eq.11.1 ed eq.11.3):

(1/i2π)rotE(x,t)=J(y) ⊕ (1/i2π)∂B(x,t)/∂t

(1/i2π)rotB(y,t)=J_m(x) ⊕ (1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t.

Nota: ricordiamo che il segno ⊕ esprime la separazione delle equazioni di tipo spazio da quelle di tipo tempo.

Si noti innanzitutto che essendo J=V/S (vedi eq.11.2) e J_m=V_m/S (eq.11.4) si ottiene subito la relazione: 

J=cJ_m     (13.1)

essendo V=ø_m/T (vedi eq.10.3), V_m=ø_m/λ (eq.10.5) e T=λ/c (eq.2.2).

Perciò grazie alla relazione tra campi E=cB (vedi eq.9.7) basta sostituire i valori di E=cB, B=E/c e J=cJ_m (vedi eq.13.1) nella prima equazione dei campi e.m. riportata sopra (eq.11.1) per ottenere la seconda (eq.11.3):

(1/i2π)rotcB=cJ_m⊕ (1/i2π)∂(E/c)/∂t.     (13.2)

Nota: questo risultato mostra la notevole simmetria del modello: basta infatti una sola equazione per descrivere la configurazione completa dei campi e.m. del modello (rispetto ai centri di carica elettrica oppure magnetica).

 

Tuttavia, come già anticipato nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" dove è stato introdotto il modello del monopolo magnetico, poiché non esistono in natura monopoli di massa m₀ dobbiamo inserire un segno meno nella equazione che definisce la f.e.m. della carica magnetica dipendente dal tempo (vedi eq.11.14), in modo da rompere la simmetria e rendere instabile la configurazione e.m. del monopolo magnetico*. Perciò poniamo:

J_m(t)=-(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (13.3)

dove come è noto J_m=V_m/S (vedi eq.11.4) e E=ø/S (eq.9.6).

Nota: ricordiamo che per semplicità abbiamo indicato con f.e.m. anche la forza motrice dovuta al potenziale magnetico.

Infatti il significato fisico del segno meno è analogo a quello già discusso nel post relativo alla Legge di Lenz, poiché la variazione del flusso elettrico ø(y,t)=E(y,t)S genera una f.e.m. V_m(x,t)=J_m(x,t)S (nel centro di carica magnetica di tipo tempo) che si oppone a questa variazione: ciò impedisce la stabilità della configurazione e.m. risonante del monopolo magnetico.

Si osservi inoltre che nel contesto dello spazio/tempo del modello, le equazioni simmetriche dei campi e.m. definiscono:

I) la Legge di Ampère adattata al modello (vedi eq.11.11 ed eq.11.13) e cioè:

J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)   (per il monopolo magnetico)

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)   (per l'elettrone)

Nota: l'equivalenza con la forma classica della legge di Ampère dove compaiono J_B=I_m/A e J_E=I/A in funzione delle correnti (invece di J=V/S e J_m=V_m/S) verrà mostrata con la eq.13.7 e la eq.13.8 (vedi anche la nota (*) dell'ultimo post)

II) la Legge di Faraday rivisitata dal modello (vedi eq.11.12 ed eq.11.14):

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t   (per l'elettrone)

J_m(t)=-(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t   (per il monopolo magnetico).

Nota: ovviamente il fattore (1/i2π) e l'inversione delle variabili x con y (e viceversa) sono prerogative esclusive del modello (vedi eq.8.8 e eq.8.9) e non fanno parte della legge classica di Ampère o di Faraday.

Come indicato sopra tra parentesi, queste leggi vengono applicate (nello spazio/tempo) al modello dell'elettrone o al modello del monopolo magnetico (come già descritto nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso").

Si osservi che nel post "La permittività e la permeabilità del modello" abbiamo introdotto la relazione λB=µI (vedi eq.5.2) dove λ=2πr (eq.2.4) e che questa relazione soddisfa in effetti la Legge di Ampère nel modello dell'elettrone:

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y)=B(x)/λ=µI(x)/A     (13.4)

essendo J_m=B/λ=ø_m/λS e µI/A=(4πhe)/(λ²cTe²)=ø_m/λS e dove A=λ² (vedi eq.13.11).
Nota: si ricordi che B=ø_m/S (vedi eq.5.1), µ=4πh/ce² (eq.5.3), I=e/T (eq.3.4), ø_m=h/e (eq.3.3), λ=cT (eq.2.2) e S=A/4π (eq.3.6).

Inoltre, come mostreremo subito di seguito, J e J_m possono essere espresse come:

J=J_B/ε     (13.5)

J_m=µJ_E     (13.6)

dove J_E e J_B rappresentano rispettivamente la densità di corrente elettrica e magnetica, mentre ε e µ sono la permittività elettrica e la permeabilità magnetica dello spazio interno in cui sono presenti i campi e.m. (vedi il relativo post).
Perciò le equazioni proposte per il modello, sempre in ambito spazio/tempo, sono equivalenti alle seguenti relazioni:

(1/i2π)rotE(x,t)=J_B(y)/ε ⊕ (1/i2π)∂B(x,t)/∂t     (13.7)

(1/i2π)rotB(y,t)=µJ_E(x) ⊕ -(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t     (13.8)

avendo sostituito i valori di J=J_B/ε (eq.13.5) e J_m=µJ_E (eq.13.6) nella eq.11.1 e nella eq.11.3 rispettivamente.

Verifichiamo quindi se J_B=εJ (vedi eq.13.5) e se J_E=J_m/µ (eq.13.6) esprimono effettivamente delle densità di corrente:

I) esaminiamo per prima la consistenza di J_E=J_m/µ (eq.13.6) che definisce per ipotesi la densità di corrente elettrica.
A tale scopo ricordiamo che nel post "La permittività e la permeabilità del modello" abbiamo così definito il valore della permeabilità magnetica (vedi eq.5.3):

µ=4πh/ce²

perciò essendo V_m=ø_m/λ (vedi eq.10.5) dalla eq.13.6 si ottiene:

J_E=J_m/µ=(ø_m/λS)(ce²/4πh).    (13.9)

Quindi poiché ø_m=h/e (vedi eq.3.3), λ=cT (eq.2.2) e S=πr²=λ²/4π (eq.3.6 ed eq.2.4) si ottiene coerentemente la densità di corrente elettrica:

J_E=I/A     (13.10)

dove I=e/T è la corrente elettrica della spira elementare (vedi eq.3.4) mentre

A=λ²     (13.11)

rappresenta la superficie virtuale del toro e.m. di raggio r centrato lungo la circonferenza λ della spira di corrente.
Nota: l'area di A è definita dalla lunghezza λ della spira moltiplicata per la circonferenza λ della linea magnetica B.

In effetti dato che stiamo definendo una densità, è come se la corrente elettrica I fosse distribuita in modo uniforme sulla superficie virtuale A del modello (all'interno della quale è definito lo spazio/tempo).
Nota: se poniamo B=µH nella eq.13.8 possiamo anche scrivere (1/i2π)rotH=J_E dove è immediato verificare l'analogia con la Legge classica di Ampère cioè rotH=J dove J è in generale una densità di corrente elettrica.

II) verifichiamo inoltre la consistenza di quella che abbiamo definito densità di corrente magnetica J_B=εJ (vedi eq.13.5).
Poiché la permittività, all'interno della superficie A, è ε=e²/(4πhc) (vedi eq.5.5) si ottiene:

J_B=εJ=εV/S=(ø_m/TS)(e²/4πhc)     (13.12)

e poiché ø_m=h/e, I=e/T e S=A/4π si ha quindi la densità di corrente magnetica:

J_B=I_m/A     (13.13)

dove I_m=I/c è la corrente magnetica già definita con la eq.9.3: anche in questo caso tutto va come se la corrente magnetica I_m fosse distribuita in modo uniforme sulla superficie virtuale A (vedi eq.13.11) del modello.

In definitiva la superficie A=λ² (eq.13.11) rappresenta l'area elementare del modelle esteso dell'elettrone**, all'interno della quale sono definiti i valori di permittività ε e permeabilità µ (vedi eq.5.5 ed eq.5.3) diversi da quelli del vuoto ε₀ e µ₀.
Nota: ricordiamo che i valori di µ (eq.5.3) ed ε (eq.5.5) sono espressi in funzione delle costanti elementari h, c ed e come se ciò indicasse un livello più fondamentale dello spazio vuoto (dove invece sono definiti i valori di µ₀ ed ε₀).

Si osservi infine che se definiamo E=D/ε e B=µH (vedi eq.14.6 e eq.14.7) possiamo riscrivere la eq.13.7 in funzione dei valori di D e H come segue***:

(1/i2π)rotD(x,t)=J_B(y) ⊕ (1/i2π)(1/c²)∂H(x,t)/∂t     (13.14)

essendo (1/c²)=µε (vedi eq.5.3 ed eq.5.5) ma anche la eq.13.8 si può riscrivere come

(1/i2π)rotH(y,t)=J_E(x) ⊕ (1/i2π)∂D(y,t)/∂t     (13.15)

dove J_B=I_m/A (vedi eq.13.13) e J_E=I/A (eq.13.10) dipendono rispettivamente da I_m e I.
Nota: nel prossimo post dimostreremo che D=e/A (vedi eq.14.10) perciò dalla eq.13.14 e dalla eq.13.15 si possono ottenere le relazioni già introdotte: I_m(x,t)=(1/i2π)rote(y,t) (vedi eq.9.1) e I(y,t)=(1/i2π)∂e(x,t)/∂t (vedi eq.8.11).
(Inoltre essendo H=e_m/A (eq.14.11) segue I(y,t)=(1/i2π)rote_m(x,t) e I_m(x,t)=(1/i2π)(1/c²)∂e_m(y,t)/∂t per il monopolo magnetico)

(*) La configurazione dell'elettrone è stabile poiché dipende dalla eq.11.12 cioè J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t (senza segno meno) mentre come vedremo la carica magnetica e_m è un effetto dello spazio/tempo: non esiste nello spazio-tempo classico(!).
(**) La superficie A del toro e.m. di circonferenza λ e raggio r è identica alla superficie laterale di un cilindro lungo λ e raggio r. Perciò per ipotesi anche il toro e.m. può essere linearizzato (come è stato fatto per λ) lungo l'asse X oppure Y.
(***) Si osservi che nella eq.13.14 e nella eq 13.15 dovremmo sostituire la variabile x con y e viceversa poiché J_B dipende da I_m(x,t) mentre J_E da I(y,t) (vedi eq.13.13 e eq.13.10): in effetti avendo posto J=J_B/ε e J_m=µJ_E siamo passati dal potenziale elettrico V alla corrente magnetica I_m ma anche dal potenziale magnetico V_m alla corrente elettrica I.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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