24 - Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico
Al fine di descrivere la struttura e.m. interna del modello esteso dell'elettrone abbiamo introdotto due sistemi di riferimento, uno di tipo spazio (in t=0) e l'altro di tipo tempo (in x,y=0), rispetto ai quali le cariche (elettrica oppure magnetica) si possono considerare per ipotesi in quiete e dove la velocità c è in realtà un parametro della teoria.
Nota: nel paragrafo "Il centro di carica elettrica e magnetica" abbiamo descritto il modello dell'elettrone dove il centro di carica magnetica coincide col centro di massa.
Grazie a questo espediente siamo riusciti a descrivere i campi e.m. interni del modello rispetto alla carica elettrica oppure magnetica rispettivamente, come abbiamo mostrato nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso", dove la descrizione dei campi è di tipo spazio oppure di tipo tempo in modo esclusivo e complementare.
Nota: ricordiamo che nello spazio-tempo il modello è delimitato da un toro e.m. virtuale (privo di foro) di raggio r=λ/2π; mentre nello spazio/tempo è linearizzato a un cilindro con gli stessi: raggio r, superficie laterale A=λ2 e volume V=λS.
Riproponiamo qui le equazioni che, ispirandoci alle equazioni simmetriche di Maxwell*, abbiamo introdotto per descrivere le due configurazioni e.m. previste dal modello: l'elettrone e il monopolo magnetico (che però è instabile, vedi oltre).
Nota: nel paragrafo "Il centro di carica elettrica e magnetica" abbiamo descritto il modello dell'elettrone dove il centro di carica magnetica coincide col centro di massa.
Grazie a questo espediente siamo riusciti a descrivere i campi e.m. interni del modello rispetto alla carica elettrica oppure magnetica rispettivamente, come abbiamo mostrato nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso", dove la descrizione dei campi è di tipo spazio oppure di tipo tempo in modo esclusivo e complementare.
Nota: ricordiamo che nello spazio-tempo il modello è delimitato da un toro e.m. virtuale (privo di foro) di raggio r=λ/2π; mentre nello spazio/tempo è linearizzato a un cilindro con gli stessi: raggio r, superficie laterale A=λ2 e volume V=λS.
Riproponiamo qui le equazioni che, ispirandoci alle equazioni simmetriche di Maxwell*, abbiamo introdotto per descrivere le due configurazioni e.m. previste dal modello: l'elettrone e il monopolo magnetico (che però è instabile, vedi oltre).
Tali equazioni legano tra loro i campi E e B che agiscono sulle relative cariche del modello** (vedi eq.11.1 ed eq.11.3):
(1/i2π)rotE(x,t)=J(y,t)⊕ (1/i2π)∂B(x,t)/∂t (nel centro di carica elettrica)
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x,t)⊕ (1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t (nel centro di carica magnetica)
dove J=V/S (vedi eq.11.2), Jm=Vm/S (eq.11.4) con V=øm/T (vedi eq.10.3) e Vm=øm/λ (eq.10.5); mentre il segno ⊕ indica la separazione delle equazioni: valide rispettivamente nei sistemi di riferimento di tipo spazio oppure di tipo tempo.
Per quanto riguarda invece le induzioni D(x) e H(y) che nel modello rappresentano i campi e.m. emessi dalle relative cariche abbiamo introdotto l'operatore discreto della divergenza (vedi eq.14.1) per cui risulta (vedi eq.14.4 ed eq.14.5):
Per quanto riguarda invece le induzioni D(x) e H(y) che nel modello rappresentano i campi e.m. emessi dalle relative cariche abbiamo introdotto l'operatore discreto della divergenza (vedi eq.14.1) per cui risulta (vedi eq.14.4 ed eq.14.5):
DivD(x)=ρ e DivH(y)=ρm
dove D=εE (vedi eq.14.6), H=B/µ (eq.14.7), ρ=e/Vol (eq.14.8) e ρm=em/Vol (eq.14.9).
Nota: per ipotesi i campi E(t) e B(t) agiscono sulle cariche mentre le induzioni D(x) e H(y) vengono emesse dalle stesse cariche e rappresentano, attraverso le relazioni D=εE e H=B/µ, l'autointerazione dei campi e.m delle cariche su se stesse.
Se supponiamo che il centro di carica magnetica (nel riferimento di tipo spazio) sia il centro di massa dell'elettrone, le equazioni che definiscono il modello esteso della particella elettrica sono le seguenti (vedi eq.11.13, eq11.12 e eq.14.4):
Nota: per ipotesi i campi E(t) e B(t) agiscono sulle cariche mentre le induzioni D(x) e H(y) vengono emesse dalle stesse cariche e rappresentano, attraverso le relazioni D=εE e H=B/µ, l'autointerazione dei campi e.m delle cariche su se stesse.
Se supponiamo che il centro di carica magnetica (nel riferimento di tipo spazio) sia il centro di massa dell'elettrone, le equazioni che definiscono il modello esteso della particella elettrica sono le seguenti (vedi eq.11.13, eq11.12 e eq.14.4):
Jm(x)=(1/i2π)rotB(y,t)
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t
DivD(x)=ρ.
J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t
DivD(x)=ρ.
Nota: il centro di carica magnetica rappresenta il centro di massa nel riferimento dello spazio-tempo (vedi oltre).
Mentre per quanto riguarda il modello del monopolo magnetico, è il centro di carica elettrica (nel riferimento di tipo spazio) che coincide per ipotesi col centro di massa e quindi si ha (vedi eq.11.11, eq.11.14 e eq.14.5):
J(y)=(1/i2π)rotE(x,t)
Jm(t)=-(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t
DivH(y)=ρm.
Jm(t)=-(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t
DivH(y)=ρm.
dove il segno meno nella definizione di Jm(t) ha un significato analogo alla Legge di Lenz (vedi eq.13.3 del post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso") e impedisce la configurazione del monopolo magnetico che infatti non esiste.
Possiamo inoltre riscrivere le eq.11.1 ed eq.11.3 nello spazio/tempo interno al modello come
Possiamo inoltre riscrivere le eq.11.1 ed eq.11.3 nello spazio/tempo interno al modello come
(1/i2π)rotE(x,t)=J(y)⊕ J(t) (24.1)
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x)⊕ Jm(t) (24.2)
e ciò rende chiaro che nello spazio-tempo esterno al modello queste equazioni si annullano risultando:
(1/i2π)rotE(x,t)=J(y,t)-J(y,t)=0 (24.3)
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x,t)-Jm(x,t)=0 (24.4)
dato che abbiamo ipotizzato segni opposti dei vettori J(y) e J(t) (in y=0 e t=0) e anche dei vettori Jm(x) e Jm(t) (in x=0 e t=0) come indicato nelle figure del paragrafo "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso".
Restano invece valide nello spazio-tempo le due seguenti equazioni (dove l'operatore div indica la divergenza classica):
divD(x)=ρ (24.5)
per l'elettrone e
divH(y)=ρm (24.6)
per il monopolo magnetico.
Nota: tuttavia la configurazione del monopolo magnetico di massa m0 è per ipotesi instabile (vedi eq.13.3).
È perciò chiaro che l'introduzione dello spazio/tempo interno al modello (delimitato dalla superficie virtuale A=λ2 secondo la eq.13.11) ha la funzione di descrivere i campi e.m. dell'elettrone esteso, senza che essi siano direttamente osservabili dallo spazio-tempo esterno: perciò l'interazione dell'elettrone in quiete è rappresentata solo dal suo campo elettrico statico (che si propaga per ipotesi lungo l'asse X del centro di carica) generato dalla carica elettrica puntiforme.
Nota: per chiarimenti sulla interazione elettrica vedi il post "La divergenza "discreta" del modello esteso" e si ricordi che la carica elettrica si trova in quiete nel riferimento di tipo spazio dove l'asse di simmetria è X (vedi il relativo post).
Nello spazio-tempo è però possibile misurare (come abbiamo già visto nei primi post) sia il momento magnetico che lo spin dell'elettrone relativamente al centro di massa del modello esteso (che coincide con il centro di carica magnetica); supponiamo infatti che il centro di massa non appartenga alla superficie A=λ2 (vedi la eq.13.11) che delimita lo spazio/tempo interno del modello, ma si trovi nello spazio-tempo nel centro del toro e.m. virtuale (esterno al toro).
Nota: si noti che se il centro del toro e.m. di raggio r (ottenuto dalla rivoluzione di una circonferenza con distanza R=r dall'asse di rotazione) appartenesse alla superficie del toro, questo sarebbe topologicamente equivalente ad una sfera.
Ciò significa inoltre che la struttura estesa della massa del disco è direttamente rivelabile dall'esterno solo grazie alla interazione gravitazionale (che si propaga per ipotesi lungo l'asse Y di simmetria del disco): ricordiamo infatti che essa non tende ad infinito per y->0 come nel caso del modello puntiforme dell'elettrone, ma al valore ben definito Vg=-2(Gm/r) (vedi eq.15.9) come è stato descritto nel post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso".
Nota: ricordiamo che per ipotesi il disco ha soli due possibili stati up e down quando si verifica una qualsiasi interazione.
Quindi l'esperimento cruciale che può confermare o meglio falsificare il modello esteso qui proposto*** è quello di verificare l'andamento della interazione gravitazionale dell'elettrone per y->0 che è molto diverso dal caso di una particella puntiforme, ma purtroppo ciò non è attuabile con gli attuali rivelatori di particelle data l'elevata energia necessaria.
Nota: per una discussione estesa su questo punto vedi il post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso".
Come ultima osservazione di tipo euristico, notiamo come il passaggio dalla descrizione dello spazio/tempo interno del modello allo spazio-tempo esterno classico sia contrassegnato dall'introduzione della massa estesa (che non è definita internamente al modello): è come se la massa rappresentasse una specie di collante per l'unione di spazio e tempo.
(*) Le equazioni di Maxwell simmetriche sono come noto le seguenti (vedi Wikipedia):
rotE=-JH-∂B/∂t rotH=JE+∂D/∂t divD=ρE divB=ρH
mentre quelle del modello esteso riportate sopra sono (posto E=D/ε e B=µH):
(1/i2π)rotE=J⊕ (1/i2π)∂B/∂t (1/i2π)rotH=Jm/µ⊕ (1/i2π)∂D/∂t DivD(x,t)=ρ DivB(y,t)=µρm.
Le analogie sono evidenti (a parte i segni e le diverse definizioni degli operatori) se si pone:
JH=J=4πV/A JE=Jm/µ=I/A ρE=ρ=e/Vol ρH=µρm=4πøm/Vol (dove V=øm/T, I=e/T, ρm=ec/Vol e øm=h/e)
con riferimento ai valori e.m. del modello già ricordati sopra (e ricavati nei precedenti post).
(**) Quanto espresso di seguito per i campi E e B è vero anche per i valori Ep e Bp in interazione col vuoto, infatti questi valori si ottengono moltiplicando per il fattore 1/(1+2π/α) le equazioni valide per i campi E e B; viceversa i valori di D e H restano correttamente invariati durante l'interazione e.m. (vedi il post "La stabilità e.m. del modello esteso").
(***) Il modello esteso prevede sia il momento magnetico che lo spin dell'elettrone, tuttavia tali risultati non sono peculiari del modello poiché già previsti dalla equazione di Dirac e quindi non sono decisivi; osserviamo però che questi risultati sono stati derivati da un semplice modello fisico e non da una equazione formale che va interpretata a livello fisico.
Nota: tuttavia la configurazione del monopolo magnetico di massa m0 è per ipotesi instabile (vedi eq.13.3).
È perciò chiaro che l'introduzione dello spazio/tempo interno al modello (delimitato dalla superficie virtuale A=λ2 secondo la eq.13.11) ha la funzione di descrivere i campi e.m. dell'elettrone esteso, senza che essi siano direttamente osservabili dallo spazio-tempo esterno: perciò l'interazione dell'elettrone in quiete è rappresentata solo dal suo campo elettrico statico (che si propaga per ipotesi lungo l'asse X del centro di carica) generato dalla carica elettrica puntiforme.
Nota: per chiarimenti sulla interazione elettrica vedi il post "La divergenza "discreta" del modello esteso" e si ricordi che la carica elettrica si trova in quiete nel riferimento di tipo spazio dove l'asse di simmetria è X (vedi il relativo post).
Nello spazio-tempo è però possibile misurare (come abbiamo già visto nei primi post) sia il momento magnetico che lo spin dell'elettrone relativamente al centro di massa del modello esteso (che coincide con il centro di carica magnetica); supponiamo infatti che il centro di massa non appartenga alla superficie A=λ2 (vedi la eq.13.11) che delimita lo spazio/tempo interno del modello, ma si trovi nello spazio-tempo nel centro del toro e.m. virtuale (esterno al toro).
Nota: si noti che se il centro del toro e.m. di raggio r (ottenuto dalla rivoluzione di una circonferenza con distanza R=r dall'asse di rotazione) appartenesse alla superficie del toro, questo sarebbe topologicamente equivalente ad una sfera.
Ciò significa inoltre che la struttura estesa della massa del disco è direttamente rivelabile dall'esterno solo grazie alla interazione gravitazionale (che si propaga per ipotesi lungo l'asse Y di simmetria del disco): ricordiamo infatti che essa non tende ad infinito per y->0 come nel caso del modello puntiforme dell'elettrone, ma al valore ben definito Vg=-2(Gm/r) (vedi eq.15.9) come è stato descritto nel post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso".
Nota: ricordiamo che per ipotesi il disco ha soli due possibili stati up e down quando si verifica una qualsiasi interazione.
Quindi l'esperimento cruciale che può confermare o meglio falsificare il modello esteso qui proposto*** è quello di verificare l'andamento della interazione gravitazionale dell'elettrone per y->0 che è molto diverso dal caso di una particella puntiforme, ma purtroppo ciò non è attuabile con gli attuali rivelatori di particelle data l'elevata energia necessaria.
Nota: per una discussione estesa su questo punto vedi il post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso".
Come ultima osservazione di tipo euristico, notiamo come il passaggio dalla descrizione dello spazio/tempo interno del modello allo spazio-tempo esterno classico sia contrassegnato dall'introduzione della massa estesa (che non è definita internamente al modello): è come se la massa rappresentasse una specie di collante per l'unione di spazio e tempo.
(*) Le equazioni di Maxwell simmetriche sono come noto le seguenti (vedi Wikipedia):
rotE=-JH-∂B/∂t rotH=JE+∂D/∂t divD=ρE divB=ρH
mentre quelle del modello esteso riportate sopra sono (posto E=D/ε e B=µH):
(1/i2π)rotE=J⊕ (1/i2π)∂B/∂t (1/i2π)rotH=Jm/µ⊕ (1/i2π)∂D/∂t DivD(x,t)=ρ DivB(y,t)=µρm.
Le analogie sono evidenti (a parte i segni e le diverse definizioni degli operatori) se si pone:
JH=J=4πV/A JE=Jm/µ=I/A ρE=ρ=e/Vol ρH=µρm=4πøm/Vol (dove V=øm/T, I=e/T, ρm=ec/Vol e øm=h/e)
con riferimento ai valori e.m. del modello già ricordati sopra (e ricavati nei precedenti post).
(**) Quanto espresso di seguito per i campi E e B è vero anche per i valori Ep e Bp in interazione col vuoto, infatti questi valori si ottengono moltiplicando per il fattore 1/(1+2π/α) le equazioni valide per i campi E e B; viceversa i valori di D e H restano correttamente invariati durante l'interazione e.m. (vedi il post "La stabilità e.m. del modello esteso").
(***) Il modello esteso prevede sia il momento magnetico che lo spin dell'elettrone, tuttavia tali risultati non sono peculiari del modello poiché già previsti dalla equazione di Dirac e quindi non sono decisivi; osserviamo però che questi risultati sono stati derivati da un semplice modello fisico e non da una equazione formale che va interpretata a livello fisico.
[Per quanto riguarda la derivazione dell'anomalia del momento magnetico secondo il modello esteso vedi il relativo post]
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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