14 - La divergenza "discreta" del modello esteso

Nel post "I valori dei campi e.m. del modello" abbiamo definito l'operatore Derivata del modello (in x,y=0, vedi eq.8.8):

DerF(x,t)=F(y,t)/T

ed inoltre abbiamo introdotto, sempre all'interno del modello, l'operatore Rotore (in t=0, vedi eq.8.9):

RotF(x,t)=F(y,t)/λ

ricordando che entrambi gli operatori sono applicabili ai valori della configurazione e.m. dell'elettrone esteso.
Nota: gli operatori sono validi solo all'interno del modello che ricordiamo è delimitato dalla superficie A (vedi eq.13.11).

Di seguito definiamo invece l'operatore Divergenza e a questo scopo introduciamo i due riferimenti di tipo spazio rispetto ai quali si suppone che avvenga l'interazione elettrica/magnetica statica del modello: questi riferimenti di tipo spazio sono stati già descritti nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" ma qui indichiamo in particolare le induzioni statiche elettrica D=εE e magnetica H=B/µ che definiremo di seguito (vedi eq.14.6 e eq.14.7):

Nota: le linee di campo B(x) e E(y) sono tratteggiate perché non sono definite rispetto al riferimento indicato ma rispetto al loro riferimento duale come già descritto nel caso dell'elettrone (vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica"); tali linee sono però utili per delimitare virtualmente la superficie A=λ² del modello e.m. (vedi eq.13.11 e il relativo post).

Nella figura di sinistra è mostrato il vettore induzione elettrica D=εE (vedi eq.14.6) mentre a destra è indicato il vettore induzione magnetica H=B/µ (vedi eq.14.7): entrambi i campi sono irradiati dalle rispettive cariche lungo il raggio r della linea di campo elettrico circolare B(x) per l'elettrone oppure lungo il raggio r della linea di campo elettrico circolare E(y) per il monopolo magnetico, rispetto al proprio riferimento di tipo spazio all'interno del modello.

Nota: come accade per i valori di tutti i campi e.m. anche le induzioni D(x) e H(y) sono rappresentate per ipotesi dalle funzioni complesse (vettore rotante in t=0): D(x)=D¢(x) e H(y)=H¢(y) rispettivamente (vedi eq.8.1).

Ora per studiare il campo statico della carica elettrica/magnetica, dobbiamo introdurre l'operatore Divergenza valido all'interno del modello; per introdurlo partiamo dalla definizione classica di divergenza dove però facciamo tendere il limite del volume di spazio considerato* alla quantità finita V_ol:

DivF(x)=lim_V--->Vol(1/V)∫ _A F(x)ndA     (14.1)

dove n è la normale alla superficie A mentre V_ol è il volume del toro delimitato dai campi e.m. del modello cioè:

V_ol=λS=A(λ/4π)     (14.2)

dove S=πr² è la superficie della sezione del toro mentre A=λ² (vedi eq.13.11) è la superficie che delimita il modello.

Nota: nella eq.14.1 F(x) oppure F(y) indicano rispettivamente il vettore rotante della induzione elettrica D(x) oppure magnetica H(y) irradiati dalla relativa carica elettrica/magnetica e sono entrambi applicati alla superficie A del modello.

 

Si osservi però che nello spazio/tempo interno al modello (come già osservato nel post "I valori dei campi elettromagnetici del modello"), dobbiamo considerare tutte le possibili direzioni del vettore rotante F(x) oppure F(y) cioè dobbiamo supporre che il campo irradiato dalla carica (elettrica/magnetica) si comporti come se fosse applicato in modo uniforme e perpendicolare** a tutta la superficie A del toro e.m. Quindi il risultato dell'integrale della eq.14.1 è pari a:

DivF(x)=(1/V_ol)∫ _A F(x)ndA=F(A/V_ol)=F(4π/λ)     (14.3)

essendo A/V_ol=4π/λ (vedi eq.14.2).

Possiamo perciò introdurre la Legge di Gauss adattata al modello esteso, nel relativo centro di carica (tipo spazio):

Centro di carica elettrica:

DivD(x)=ρ     (14.4)

Centro di carica magnetica:

DivH(y)=ρ_m     (14.5)

dove abbiamo definito rispettivamente l'induzione elettrica:

D=εE     (14.6)

e l'induzione magnetica:

H=B/µ     (14.7)

mentre i valori di ε=e²/4πhc e µ=4πh/ce² sono già stati definiti rispettivamente con la eq.5.5 e la eq.5.3.

Ricordiamo che E(t) (vedi eq.11.14) e B(t) (vedi eq.11.12) sono i campi e.m. dinamici che agiscono sulle rispettive cariche elettrica/magnetica nei relativi riferimenti di tipo tempo, mentre D(x) e H(y) sono le induzioni statiche emesse dalle stesse cariche nei riferimenti di tipo spazio, rispettivamente legate tra loro dalle relazioni tra moduli***: D=εE e H=B/µ.
Nota: anche le induzioni e.m. D e H sono definite esclusivamente all'interno del modello dove sono definiti i valori di ε e µ.

 

Inoltre nella eq.14.4 abbiamo introdotto per definizione la densità elettrica:

ρ=e/V_ol     (14.8)

mentre nella eq.14.5 abbiamo così definito la densità magnetica:

ρ_m=e_m/V_ol.     (14.9)

Nota: anche qui supponiamo che le due densità possano essere trattate formalmente come se fossero uniformi.

Quindi se applichiamo la definizione dell'operatore DivF(x)=F(4π/λ) (vedi eq.14.3) alla eq.14.4 e alla eq.14.5 si ottiene:

D(4π/λ)=ρ   =>   D=(λ/4π)(e/V_ol)=e/A     (14.10)

essendo V_ol=A(λ/4π) (vedi eq.14.2) e

H(4π/λ)=ρ_m   =>   H=(λ/4π)(e_m/V_ol)=e_m/A.     (14.11)

Ed inoltre essendo e_m=ec (vedi eq.10.8) è immediato mostrare dalle due relazioni precedenti che:

D=H/c.     (14.12)

Verifichiamo quindi se le due definizioni sopra introdotte e cioè D=εE (eq.14.6) ed H=B/µ (eq.14.7) sono consistenti con le relazioni appena derivate D=e/A (eq.14.10) e H=e_m/A (eq.14.11); infatti sostituendo rispettivamente i valori di ε e µ e quelli dei campi e.m. E e B nelle rispettive relazioni si ottiene:

I) nel primo caso essendo ε=e²/4πhc (vedi eq.5.5), E=ø/S=hc/eS (eq.9.6) e ø=ø_mc (eq.9.5) segue D=εE=e/A (eq.14.10);
mentre
II) nel secondo caso poiché µ=4πh/ce² (vedi eq.5.3), B=ø_m/S=h/eS (eq.5.1) e ø_m=h/e (eq.3.3) si ha H=B/µ=e_m/A (eq.14.11).

Si noti anche che essendo A=λ² (eq.13.11) possiamo riscrivere la eq.14.11 come:

H=I/λ     (14.13)

dove I=e/T (vedi eq.3.4) è la corrente elettrica con T=λ/c (eq.2.2) e quindi dalla eq.14.12 si ottiene inoltre:

D=I_m/λ     (14.14)

essendo I=I_mc (vedi eq.9.3).
Nota: la relazione H=I/λ è confermata dalla eq.13.4: J_m=B/λ=µI/A essendo B=µH (eq.14.7) e A=λ² (eq.13.11).

Per quanto riguarda l'interazione elettrica statica supponiamo che essa si verifichi nel centro di carica nel riferimento di tipo spazio e si propaghi per ipotesi lungo l'asse X del modello (vedi figura sopra). Inoltre supponiamo che nel centro di carica elettrica la permittività ε₀ (che nello spazio-tempo definisce la costante k=1/4πε₀ della forza elettrica) e quindi la permeabilità magnetica µ₀ (essendo c²=1/(µ₀ε₀)) siano quelle del vuoto: infatti il centro di carica elettrica coincide con il centro del toro e.m. che per ipotesi non appartiene alla superficie A=λ² che delimita il modello (vedi eq.13.11).

Nota: per simmetria varrebbe lo stesso per il modello del monopolo magnetico che però è instabile (vedi eq.13.3).

Viceversa, come vedremo, l'interazione gravitazionale si propaga dal centro di carica magnetica (o centro di massa) nel relativo riferimento di tipo spazio (come verrà descritto nel post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso").
Nota: sui riferimenti dei centri di carica elettrica oppure magnetica vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica".

(*) Nel caso classico il volume V tende al punto dello spazio dove si vuol definire la divergenza, cioè V tende a zero.

(**) La definizione F(x)=Fe^ikx (vedi eq.8.7) o F(y)=Fe^iky è valida per ipotesi per tutti i valori e.m. del modello (in t=0) quindi anche per il campo irradiato dalle cariche si utilizza un vettore rotante: tuttavia nel riferimento di tipo spazio dobbiamo considerare tutte le direzioni possibili di D(x) o H(y) poiché non si può definire una precisa fase in t=0 se t non è definibile.
(***) Con queste due definizioni si legano i campi e.m. E(t) e B(t), che come abbiamo visto agiscono sulla carica elettrica o magnetica rispettivamente, alle induzioni D(x) e H(y) che invece vengono emesse dalle relative cariche: la nostra ipotesi è che questa condizione esprima l'autointerazione spazio/tempo dei campi e.m. delle cariche su se stesse(!).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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