20 - La stabilità e.m. del modello esteso

Nel post "Il circuito e.m. equivalente del modello" abbiamo mostrato come il modello esteso dell'elettrone può essere rappresentato da un circuito elettrico equivalente, costituito da un generatore di corrente continua I a cui è connesso, in sovrapposizione elettromagnetica, un circuito risonante LC di corrente alternata I(t).
Nota: ciò significa che la corrente dinamica I(t) del circuito LC si sovrappone fisicamente a quella costante I del generatore.

Inoltre nel post "L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto" abbiamo descritto l'interazione e.m. dell'elettrone con lo spazio vuoto; tale interazione modifica l'impedenza caratteristica Z del circuito LC che è stata così definita (vedi eq.17.17):
Z=(L/C)1/2=(1/4π)(µ/ε)1/2.
Infatti questa impedenza viene posta in parallelo all'impedenza Z0 caratteristica dello spazio vuoto (vedi eq.18.4):
Z0=(L0/C0)1/2=(1/4π)(µ00)1/2
da cui segue che il valore dell'impedenza in parallelo Zp dell'elettrone risulta (vedi eq.18.9):
Zp=Z/(1+2π/α)
dove α=e2/(2hε0c) è la costante adimensionale di struttura fine (α≈1/137).

Ricordiamo infine che abbiamo definito i valori dell'induttanza L=µλ/4π (vedi eq.17.6) e della capacità C=4πελ (eq.17.7), oltre ai valori già definiti nello spazio vuoto L00λ/4π (vedi eq.18.6) e C0=4πε0λ(2π/α) (eq.18.7), per cui risulta:
L0=(α/2π)L     (20.1)
C0=C(2π/α)     (20.2)
essendo µ=µ0(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε0(α/2π) (eq.5.5).
Nota: ricordiamo che lo spazio vuoto è caratterizzato dai valori di permeabilità magnetica µ0 e permittività elettrica ε0 mentre internamente al modello si hanno i valori di permeabilità µ=µ0(2π/α) e permittività ε=ε0(α/2π).

È noto che i valori dell'induttanza Lp e della capacità Cp in parallelo si possono ottenere dalle seguenti relazioni*:
1/Lp=1/L+1/L0     (20.3)
Cp=C+C0     (20.4)
dalle quali essendo come visto sopra L0=(α/2π)L e C0=C(2π/α) si ottiene:
Lp=L/(1+2π/α)     (20.5)
Cp=C(1+2π/a).     (20.6)

Ora se nelle due equazioni precedenti sostituiamo i valori di L=µλ/4π (vedi eq.17.6) e C=4πελ (eq.17.7) espressi in funzione di µ e di ε e supponiamo che la lunghezza λ della spira non varî durante l'interazione col vuoto, possiamo porre per Lp e Cp:
Lppλ/4π     (20.7)
Cp=4πεpλ     (20.8)
 dove per la eq.20.5 e la eq.20.6:
µp=µ/(1+2π/α)     (20.9)
εp=ε(1+2π/α)     (20.10)
da cui segue inoltre che il valore di c2=1/(µpεp)=1/(µε)=1/(µ0ε0) resta invariato**.
Nota: poiché µ=µ0(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε0(α/2π) (eq.5.5) con α≈1/137 si ha µp0/(1+α/2π)≈µ0 e εp=ε0(1+α/2π)ε0 cioè la permeabilità e la permittività del modello in interazione sono molto vicine a quelle dello spazio vuoto.

Vogliamo ora mostrare come la struttura e.m. del modello*** definito dalla carica elettrica e e dalla corrente I=e/T (eq.3.4), oltre che dalla lunghezza λ della spira di corrente e dall'area A=λ2 (eq.13.11) che delimita il modello, non varia durante l'interazione col vuoto, proprio grazie alla variazione di ε e µ che preservano la stabilità strutturale del modello.

Supponiamo infatti che e ed I restino invariati durante l'interazione, in questo caso possiamo derivare i valori della f.e.m. Vp (che fa circolare la carica lungo la spira di corrente) e del flusso magnetico ømp (che attraversa la sua superficie) utilizzando rispettivamente i valori di Cp e di Lp prima definiti (che ricordiamo dipendono da εp e µp) ottenendo:
Vp=e/Cp=V/(1+2π/α)     (20.11)
ø
mp
=LpI=
øm/(1+2π/α)     (20.12)
essendo Cp=C(1+2π/a) (vedi eq.20.6) e Lp=L/(1+2π/α) (eq.20.5) ed inoltre V=e/C (vedi eq.17.4) e øm=LI (eq.17.5).
Nota: essendo V=e/C (vedi eq.17.4) e øm=LI (eq.17.5) è naturale supporre che Vp=e/Cp e ømp=LpI se e ed I restano invariati.

E quindi supponendo che anche λ ed S (cioè la lunghezza e la superficie della spira) restino invariati, possiamo calcolare i valori del campo elettrico Ep e magnetico Bp in interazione col vuoto (che a loro volta dipendono da εp e µp):
Ep=Vp/S)=E/(1+2π/α)     (20.13)
Bp=ømp
/S=B/(1+2π/α)     (20.14)
essendo Vp=V/(1+2π/α) (vedi eq.20.11) e ømp=øm/(1+2π/α) (eq.20.12) ed inoltre E=V/S) (vedi eq.12.2) e B=øm/S (eq.12.5).
Nota: ricordiamo che i valori di Ep(t) e Bp(t), come pure i valori di E(t) e B(t) prima dell'interazione, sono definiti nel riferimento di tipo tempo (vedi il post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso").

Infine per quanto riguarda i valori della induzione elettrica D e di quella magnetica H interne al modello risulta (ricordando i valori di εp, µp e Ep, Bp sopra ricavati):
D=εpEp=e/A     (20.15)
H=Bpp=I/λ     (20.16)
perciò essendo D=εE=e/A (vedi eq.14.10) e H=B/µ=I/λ (eq.14.11) entrambi i valori restano invariati durante l'interazione.
Nota: ricordiamo che i valori di D(x) e H(y) sono definiti rispettivamente nel riferimento di tipo spazio della carica elettrica o di quella magnetica (vedi il post "La divergenza "discreta" del modello esteso").

In definitiva i valori della carica elettrica e e della corrente I, della lunghezza λ della spira di corrente e dell'area A del modello restano invariati durante l'interazione col vuoto, proprio grazie al variare dei campi e.m. Ep e Bp che quindi costituiscono una sorta di schermo elettromagnetico che preserva la stabilità strutturale del modello.
Nota: quanto visto sopra è presumibilmente vero anche durante l'interazione con altri campi e.m. o particelle cariche.

Per verificare la consistenza di quanto visto sopra mostriamo che le equazioni che legano i campi e.m. del modello non variano durante l'interazione col vuoto ma si modificano solo i valori dei campi e.m. Ep e Bp.
Si osservi infatti che tali equazioni si possono derivare da quelle già ricavate per E e B (vedi eq.11.1 ed eq.11.3):
1/i2π)rotE(x,t)=J(y)⊕(1/i2π)∂B(x,t)/t
(1/i2π)rotB(y,t)=Jm(x)⊕ -(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/t
moltiplicando semplicemente entrambe le equazioni per il fattore 1/(1+2π/α):
1/i2π)rotEp(x,t)=Jp(y)⊕(1/i2π)∂Bp(x,t)/t     (20.17)
(1/i2π)rotBp(y,t)=Jmp(x)⊕ -(1/c2)(1/i2π)∂Ep(y,t)/t     (20.18)
essendo Jp=(V/S)/(1+2π/α) e Jmp=(Vm/S)/(1+2π/α) con J=V/S (vedi eq.11.2) e Jm=Vm/S (eq.11.4).
Nota: ricordiamo che il segno meno nella equazione Jm(t)=-(1/c2)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t (vedi eq.13.3) rende instabile la configurazione del monopolo magnetico (come descritto nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso").

Si osservi infine che l'energia dissipata dall'elettrone durante l'interazione con lo spazio vuoto è pari alla differenza
∆eV=eV-eVp=eV/(1+α/2π)≈eV     (20.19)
cioè è pari a quasi tutta l'energia di campo eV essendo eVp=eV/(1+2π/α)<<eV (vedi eq.20.11) dove α≈1/137.
Per quanto abbiamo appena visto sopra ciò significa che tale energia viene utilizzata per modificare sia la permittività εp (vedi eq.20.10) che la permeabilità µp (eq.20.9) in interazione col vuoto, che caratterizzano la zona interna al modello delimitata dalla superficie virtuale A=λ2 (vedi eq.13.11).

(*) Per ottenere l'impedenza equivalente, in un circuito elettrico con gli elementi disposti in parallelo, le capacità si sommano mentre per le induttanze si sommano i loro reciproci.
(**) Ciò significa che durante l'interazione col vuoto variano i valori di permeabilità µp e permittività εp da cui dipendono i valori di Lp e Cp rispettivamente e quindi variano, come vedremo di seguito, i valori dei campi e.m. Bp ed Ep.
(***) Qui stiamo considerando il modello dell'elettrone ma il caso del monopolo magnetico sarebbe del tutto speculare: infatti potremmo porre Lm=cL e Cm=cC e quindi Z=(Lm/Cm)1/2=(L/C)1/2 inoltre LmCm=LCc22 (essendo LC=T2 vedi eq.17.8) e l'equazione del circuito LmCm sarebbe: (1/c)2(1/i2π)2d2Im(t)/dt2-Im(t)/LmCm=0 (dove Im=I/c vedi eq.9.3).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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