20 - La stabilità e.m. del modello esteso

Nel post "Il circuito e.m. equivalente del modello" abbiamo mostrato come il modello esteso dell'elettrone può essere rappresentato da un circuito elettrico equivalente, costituito da un generatore di corrente continua I a cui è connesso, in sovrapposizione elettromagnetica, un circuito risonante LC di corrente alternata I(t).
Nota: ciò significa che la corrente dinamica I(t) del circuito LC si sovrappone fisicamente a quella costante I del generatore.

Inoltre nel post "L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto" abbiamo descritto l'interazione e.m. dell'elettrone con lo spazio vuoto; tale interazione modifica l'impedenza caratteristica del circuito LC che è stata così definita (vedi eq.17.17):

Z=(L/C)^1/2=(1/4π)(µ/ε)^1/2.

Questa impedenza viene posta in parallelo all'impedenza caratteristica dello spazio vuoto (vedi eq.18.4):

Z₀=(L₀/C₀)^1/2=(1/4π)(µ₀/ε₀)^1/2

da cui segue che il valore dell'impedenza in parallelo dell'elettrone risulta (vedi eq.18.9):

Z_p=Z/(1+2π/α)

dove α=e²/(2hε₀c) è la costante adimensionale di struttura fine (α≈1/137).

Ricordiamo infine che abbiamo definito i valori dell'induttanza L=µλ/4π (vedi eq.17.6) e della capacità C=4πελ (eq.17.7), oltre ai valori già definiti nello spazio vuoto L₀=µ₀λ/4π (vedi eq.18.6) e C₀=4πε₀λ(2π/α) (eq.18.7), per cui risulta:

L₀=(α/2π)L     (20.1)

C₀=C(2π/α)     (20.2)

essendo µ=µ₀(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε₀(α/2π) (eq.5.5).
Nota: ricordiamo che lo spazio vuoto è caratterizzato dai valori di permeabilità magnetica µ₀ e permittività elettrica ε₀ mentre internamente al modello si hanno i valori di permeabilità µ=µ₀(2π/α) e permittività ε=ε₀(α/2π).

È noto che i valori dell'induttanza L_p e della capacità C_p in parallelo li possiamo ottenere dalle seguenti relazioni*:

1/L_p=1/L+1/L₀     (20.3)
C_p=C+C₀     (20.4)

dalle quali essendo come visto sopra L₀=(α/2π)L e C₀=C(2π/α) si ottiene:

L_p=L/(1+2π/α)     (20.5)

C_p=C(1+2π/a).     (20.6)

Ora ricordando che abbiamo già ricavato i valori di L=µλ/4π (vedi eq.17.6) e C=4πελ (vedi eq.17.7) in funzione di µ e di ε e supponendo che la lunghezza λ della spira non varî durante l'interazione col vuoto, possiamo porre per L_p e C_p:

L_p=µ_pλ/4π     (20.7)

C_p=4πε_pλ     (20.8)

 essendo per la eq.20.5 e la eq.20.6:

µ_p=µ/(1+2π/α)     (20.9)

ε_p=ε(1+2π/α)     (20.10)

da cui segue inoltre che il valore di c²=1/(µ_pε_p)=1/(µε)=1/(µ₀ε₀) resta invariato**.

Nota: poiché µ=µ₀(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε₀(α/2π) (eq.5.5) con α≈1/137 si ha µ_p=µ₀/(1+α/2π)≈µ₀ e ε_p=ε₀(1+α/2π)≈ε₀ cioè la permeabilità e la permittività del modello in interazione sono molto vicine a quelle dello spazio vuoto.

Vogliamo ora mostrare come la struttura e.m. del modello*** definito dalla carica elettrica e e dalla corrente I=e/T (eq.3.4), oltre che dalla lunghezza λ della spira di corrente e dall'area A=λ² (eq.13.11) che delimita il modello, non varî durante l'interazione col vuoto, proprio grazie alla variazione di ε e µ che preservano la stabilità strutturale del modello.

Supponiamo infatti che e ed I restino invariati durante l'interazione, in questo caso possiamo derivare i valori della f.e.m. V_p (che fa circolare la carica lungo la spira di corrente) e del flusso magnetico ø_mp (che attraversa la sua superficie) utilizzando rispettivamente i valori di C_p e di L_p prima definiti (che ricordiamo dipendono da ε_p e µ_p) ottenendo:

V_p=e/C_p=V/(1+2π/α)     (20.11)
ø_mp=L_pI=ø_m/(1+2π/α)     (20.12)

essendo C_p=C(1+2π/a) (vedi eq.20.6) e L_p=L/(1+2π/α) (eq.20.5) ed inoltre V=e/C (vedi eq.17.4) e ø_m=LI (eq.17.5).

Nota: essendo V=e/C (vedi eq.17.4) e ø_m=LI (eq.17.5) è naturale supporre che V_p=e/C_p e ø_mp=L_pI se e ed I restano invariati.

E quindi supponendo che anche λ ed S (cioè la lunghezza e la superficie della spira) restino invariati, possiamo calcolare i valori del campo elettrico E_p e magnetico B_p in interazione col vuoto (che a loro volta dipendono da ε_p e µ_p):

E_p=V_p(λ/S)=E/(1+2π/α)     (20.13)
B_p=ø_mp/S=B/(1+2π/α)     (20.14)

essendo V_p=V/(1+2π/α) (vedi eq.20.11) e ø_mp=ø_m/(1+2π/α) (eq.20.12) ed inoltre E=V(λ/S) (vedi eq.12.2) e B=ø_m/S (eq.12.5).
Nota: ricordiamo che i valori di E_p(t) e B_p(t), come pure i valori di E(t) e B(t) prima dell'interazione, sono definiti nel riferimento di tipo tempo (vedi il post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso").

Infine per quanto riguarda i valori della induzione elettrica D e di quella magnetica H interne al modello risulta (ricordando i valori di ε_p, µ_p e E_p, B_p sopra ricavati):

D=ε_pE_p=e/A     (20.15)

H=B_p/µ_p=I/λ     (20.16)

perciò essendo D=εE=e/A (vedi eq.14.10) e H=B/µ=I/λ (eq.14.11) entrambi i valori restano invariati durante l'interazione.
Nota: ricordiamo che i valori di D(x) e H(y) sono definiti rispettivamente nel riferimento di tipo spazio della carica elettrica oppure di quella magnetica (vedi il post "La divergenza "discreta" del modello esteso").

In definitiva i valori della carica elettrica e e della corrente I, della lunghezza λ della spira di corrente e dell'area A del modello restano invariati durante l'interazione col vuoto, proprio grazie al variare dei campi e.m. E_p e B_p che quindi costituiscono una sorta di schermo elettromagnetico che preserva la stabilità strutturale del modello.
Nota: quanto visto sopra è presumibilmente vero anche durante l'interazione con altri campi e.m. o particelle cariche.

Per verificare la consistenza di quanto visto sopra mostriamo che le equazioni che legano i campi e.m. del modello non variano durante l'interazione col vuoto ma si modificano solo i valori dei campi e.m. E_p e B_p.

Si osservi infatti che tali equazioni si possono derivare da quelle già ricavate per E e B (vedi eq.11.1 ed eq.11.3):

1/i2π)rotE(x,t)=J(y)⊕(1/i2π)∂B(x,t)/∂t

(1/i2π)rotB(y,t)=J_m(x)⊕ -(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t

moltiplicando semplicemente entrambe le equazioni per il fattore 1/(1+2π/α):

1/i2π)rotE_p(x,t)=J_p(y)⊕(1/i2π)∂B_p(x,t)/∂t     (20.17)

(1/i2π)rotB_p(y,t)=J_mp(x)⊕ -(1/c²)(1/i2π)∂E_p(y,t)/∂t     (20.18)

essendo J_p=(V/S)/(1+2π/α) e J_mp=(V_m/S)/(1+2π/α) con J=V/S (vedi eq.11.2) e J_m=V_m/S (eq.11.4).
Nota: ricordiamo che il segno meno nella equazione J_m(t)=-(1/c²)(1/i2π)∂E(y,t)/∂t (vedi eq.13.3) rende instabile la configurazione del monopolo magnetico (come descritto nel post "Le Leggi di Ampère, Faraday e il modello esteso").

Si osservi infine che l'energia dissipata dall'elettrone durante l'interazione con lo spazio vuoto è pari alla differenza

∆eV=eV-eV_p=eV/(1+α/2π)≈eV     (20.19)

cioè è pari a quasi tutta l'energia di campo eV essendo eV_p=eV/(1+2π/α)<<eV (vedi eq.20.11) dove α≈1/137.
Per quanto abbiamo appena visto sopra ciò significa che tale energia viene utilizzata per modificare sia la permittività ε_p (vedi eq.20.10) che la permeabilità µ_p (eq.20.9) in interazione col vuoto, cioè tutta quella zona interna al modello delimitata dalla superficie virtuale A=λ² (vedi eq.13.11).

(*) Per ottenere l'impedenza equivalente, in un circuito elettrico con gli elementi disposti in parallelo, le capacità si sommano mentre per le induttanze sono i loro reciproci che vanno sommati.

(**) Ciò significa che durante l'interazione col vuoto variano i valori di permeabilità µ_p e permittività ε_p da cui dipendono i valori di L_p e C_p rispettivamente e quindi variano, come vedremo di seguito, i valori dei campi e.m. B_p ed E_p.
(***) Qui stiamo considerando il modello dell'elettrone ma il caso del monopolo magnetico sarebbe del tutto speculare: infatti potremmo porre L_m=cL e C_m=cC e quindi Z=(L_m/C_m)^1/2=(L/C)^1/2 inoltre L_mC_m=LCc²=λ² (essendo LC=T² vedi eq.17.8) e l'equazione del circuito L_mC_m sarebbe: (1/c)²(1/i2π)²d²I_m(t)/dt²-I_m(t)/L_mC_m=0 (dove I_m=I/c vedi eq.9.3).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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