18 - L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto
Nel precedente post "Il circuito e.m. equivalente del modello" abbiamo definito il circuito elettrico equivalente dell'elettrone e la sua impedenza caratteristica con l'intento di calcolare gli effetti dell'interazione e.m. del modello con lo spazio vuoto.
Introduciamo quindi un ulteriore circuito elettrico equivalente che rappresenta l'impedenza caratteristica del vuoto per unità di lunghezza e che utilizzeremo per determinare l'interazione e.m. dell'elettrone col vuoto:
In figura i valori di L0 e C0 rappresentano rispettivamente l'induttanza e la capacità del vuoto per unità di lunghezza e sono definiti in modo analogo a quanto è stato fatto nel precedente post, dove abbiamo introdotto i valori di induttanza L=λµ/4π (vedi eq.17.6) e capacità C=λ4πε (eq.17.7) del modello dell'elettrone; nel caso dello spazio vuoto perciò poniamo:
L0=µ0/4π (18.1)
C0=4πε0 (18.2)
C0=4πε0 (18.2)
dove µ0 e ε0 sono rispettivamente la permeabilità magnetica e la permittività elettrica del vuoto.
Nota: la definizione di impedenza per unità di lunghezza è tipica delle linee di trasmissione che trasportano onde e.m..
Ora l'impedenza caratteristica del vuoto è per ipotesi definita come l'impedenza di una linea di trasmissione non dispersiva dove L0 e C0 rappresentano l'induttanza e la capacità differenziale della linea cioè (vedi Wikipedia):
Nota: la definizione di impedenza per unità di lunghezza è tipica delle linee di trasmissione che trasportano onde e.m..
Ora l'impedenza caratteristica del vuoto è per ipotesi definita come l'impedenza di una linea di trasmissione non dispersiva dove L0 e C0 rappresentano l'induttanza e la capacità differenziale della linea cioè (vedi Wikipedia):
Z0=(L0/C0)1/2. (18.3)
Nota: si osservi che la definizione di Z0 è del tutto analoga a quella del circuito LC dove Z=(L/C)1/2 (vedi eq.17.17).
Quindi sostituendo nella eq.18.3 i valori di L0 e C0 sopra definiti si ottiene l'impedenza del vuoto in funzione di µ0 e ε0:
Z0=(1/4π)(µ0/ε0)1/2 (18.4)
Nota: questa definizione non è nuova poiché al vuoto si attribuisce una impedenza caratteristica pari a Z0=(µ0/ε0)1/2.
Inoltre essendo µ=µ0(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε0(α/2π) (eq.5.5), dove µ e ε sono rispettivamente la permeabilità e la permittività interne al modello, vale la seguente relazione tra l'impedenza del vuoto e quella dell'elettrone:
Inoltre essendo µ=µ0(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε0(α/2π) (eq.5.5), dove µ e ε sono rispettivamente la permeabilità e la permittività interne al modello, vale la seguente relazione tra l'impedenza del vuoto e quella dell'elettrone:
Z0/Z=(α/2π) (18.5)
essendo Z=(1/4π)(µ/ε)1/2 (vedi eq.17.17) l'impedenza caratteristica dell'elettrone, mentre Z0=(1/4π)(µ0/ε0)1/2 è quella del vuoto (vedi eq.18.4) e dove α=e2/(2hε0c) è la costante adimensionale di struttura fine (pari a circa 1/137).
Siamo finalmente in grado di calcolare gli effetti della interazione del modello e.m. dell'elettrone esteso con lo spazio vuoto; a tale scopo introduciamo un nuovo circuito elettrico equivalente che rappresenta questo tipo di interazione:
Come già descritto nel post "Il circuito e.m. equivalente del modello" il generatore di corrente I e il circuito connesso LC rappresentano il modello e.m. dell'elettrone; mentre il circuito L0C0 rappresenta l'impedenza del vuoto che è in interazione con la spira elementare di lunghezza* λ: ciò significa che i valori di L0 e C0 sopra definiti per unità di lunghezza (vedi eq.18.1 e eq.18.2) vanno moltiplicati per λ ottenendo quindi i valori di L0 e C0:
L0=λL0=µ0λ/4π (18.6)
C0=λC0=4πε0λ. (18.7)
C0=λC0=4πε0λ. (18.7)
Nota: il valore di Z0=(L0/C0)1/2=(L0/C0)1/2 (vedi eq.18.3) resta invariato (dato che il termine λ si semplifica nel rapporto).
Ora è noto che quando gli elementi e.m. di un circuito elettrico sono connessi in parallelo l'ammettenza equivalente del circuito (cioè l'inverso dell'impedenza) si calcola così:
Ora è noto che quando gli elementi e.m. di un circuito elettrico sono connessi in parallelo l'ammettenza equivalente del circuito (cioè l'inverso dell'impedenza) si calcola così:
1/Zp=1/Z+1/Z0 (18.8)
da cui sostituendo il valore di Z0=Z(α/2π) (vedi eq.18.5) si ottiene:
Zp=Z/(1+2π/α) (18.9)
che rappresenta l'impedenza equivalente del circuito in parallelo.
Ciò significa che l'energia totale dell'elettrone privo di interazione, così definita nel precedente post (vedi eq.17.16):
Ciò significa che l'energia totale dell'elettrone privo di interazione, così definita nel precedente post (vedi eq.17.16):
mc2=ømI+eZI
risulta minore durante l'interazione col vuoto: infatti nel circuito e.m. equivalente (sopra indicato) l'energia è pari a
mc2=ømI+eZpI=ømI+eZI/(1+2π/α) (18.10)
dove mc2 è l'energia dell'elettrone in interazione col vuoto, mentre Zp=Z/(1+2π/α) (vedi eq.18.9) è l'impedenza in parallelo.
Nota: come vedremo in un prossimo post l'energia dissipata dalla configurazione e.m. dell'elettrone quando è in interazione (pari a ∆E=mc2-mc2) è impiegata nel variare i valori di permittività e permeabilità del modello.
Infine se si ricorda che ømI=m0c2 (vedi eq.3.2) e che per definizione ZI=V (eq.17.15) si ha per l'energia dell'elettrone:
Nota: come vedremo in un prossimo post l'energia dissipata dalla configurazione e.m. dell'elettrone quando è in interazione (pari a ∆E=mc2-mc2) è impiegata nel variare i valori di permittività e permeabilità del modello.
Infine se si ricorda che ømI=m0c2 (vedi eq.3.2) e che per definizione ZI=V (eq.17.15) si ha per l'energia dell'elettrone:
mc2=m0c2+eV/(1+2π/α) (18.11)
dove risulta eV/(1+2π/α)<<eV e quindi mc2≈m0c2 (essendo eV=ømI secondo la eq.10.9) cioè l'energia dell'elettrone è circa quella dovuta alla massa nuda m0 in assenza di campo e.m. (vedi il relativo post).
In defintiva nella eq.18.11 vista sopra m0c2 rappresenta l'energia dell'elettrone in assenza di campo, mentre la componente
In defintiva nella eq.18.11 vista sopra m0c2 rappresenta l'energia dell'elettrone in assenza di campo, mentre la componente
eV/(1+2π/α) (18.12)
descrive l'energia dovuta al campo e.m. dell'elettrone in interazione col vuoto**.
Nota: per chiarimenti sul campo e.m. dell'elettrone vedi il post "Perché un modello esteso dell'elettrone?".
Nel prossimo post vedremo come questa energia di campo e.m. dovuta all'interazione dell'elettrone col vuoto produca l'effetto ben noto della anomalia del momento magnetico dell'elettrone.
(*) In realtà (come visto nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso") il centro di carica dell'elettrone, lungo cui supponiamo avvenga l'interazione dinamica con lo spazio vuoto, è posto nel riferimento di tipo tempo; perciò per definire l'induttanza e la capacità del vuoto (in interazione col modello e.m.) dobbiamo considerare il periodo T di rotazione su se stessa della carica elettrica (in x=0), da cui deriva il parametro di interazione λ=cT (vedi eq.2.2).
(**) È noto che il momento magnetico dell'elettrone non dipende dal mezzo nel quale viene misurato (cioè dalla sua permittività e permeabilità), quindi il circuito equivalente del modello in interazione col vuoto è da intendersi come una rappresentazione e.m. dell'elettrone ma è invariante in altri mezzi diversi dal vuoto.
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
INDICE DEI POST
Nota: per chiarimenti sul campo e.m. dell'elettrone vedi il post "Perché un modello esteso dell'elettrone?".
Nel prossimo post vedremo come questa energia di campo e.m. dovuta all'interazione dell'elettrone col vuoto produca l'effetto ben noto della anomalia del momento magnetico dell'elettrone.
(*) In realtà (come visto nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso") il centro di carica dell'elettrone, lungo cui supponiamo avvenga l'interazione dinamica con lo spazio vuoto, è posto nel riferimento di tipo tempo; perciò per definire l'induttanza e la capacità del vuoto (in interazione col modello e.m.) dobbiamo considerare il periodo T di rotazione su se stessa della carica elettrica (in x=0), da cui deriva il parametro di interazione λ=cT (vedi eq.2.2).
(**) È noto che il momento magnetico dell'elettrone non dipende dal mezzo nel quale viene misurato (cioè dalla sua permittività e permeabilità), quindi il circuito equivalente del modello in interazione col vuoto è da intendersi come una rappresentazione e.m. dell'elettrone ma è invariante in altri mezzi diversi dal vuoto.
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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