18 - L'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto

Nel precedente post "Il circuito e.m. equivalente del modello" abbiamo definito il circuito elettrico equivalente dell'elettrone e la sua impedenza caratteristica con l'intento di calcolare gli effetti dell'interazione e.m. del modello con lo spazio vuoto.
Introduciamo quindi un ulteriore circuito elettrico equivalente che rappresenti l'impedenza caratteristica del vuoto per unità di lunghezza e che utilizzeremo per determinare l'interazione e.m. dell'elettrone col vuoto:

In figura i valori di L₀ e C₀ rappresentano rispettivamente l'induttanza e la capacità del vuoto per unità di lunghezza e sono definiti in modo analogo a quanto è stato fatto nel precedente post, dove abbiamo introdotto i valori di induttanza L=λµ/4π (vedi eq.17.6) e capacità C=λ4πε (eq.17.7) del modello dell'elettrone; nel caso dello spazio vuoto perciò poniamo:

L₀=µ₀/4π     (18.1)
C₀=4πε₀     (18.2)    

dove µ₀ e ε₀ sono rispettivamente la permeabilità magnetica e la permittività elettrica del vuoto.
Nota: la definizione di impedenza per unità di lunghezza è tipica delle linee di trasmissione che trasportano onde e.m..

Ora l'impedenza caratteristica del vuoto è per ipotesi definita come l'impedenza di una linea di trasmissione non dispersiva dove L₀ e C₀ rappresentano l'induttanza e la capacità differenziale della linea cioè (vedi Wikipedia):

Z₀=(L₀/C₀)^1/2.     (18.3)

Nota: si osservi che la definizione di Z₀ è del tutto analoga a quella del circuito LC dove Z=(L/C)^1/2 (vedi eq.17.17).

 

Quindi sostituendo nella eq.18.3 i valori di L₀ e C₀ sopra definiti si ottiene l'impedenza del vuoto in funzione di µ₀ e ε₀:

Z₀=(1/4π)(µ₀/ε₀)^1/2     (18.4)

Nota: questa definizione non è nuova poiché al vuoto si attribuisce una impedenza caratteristica pari a Z₀=(µ₀/ε₀)^1/2.

Inoltre essendo µ=µ₀(2π/α) (vedi eq.5.4) e ε=ε₀(α/2π) (eq.5.5), dove µ e ε sono rispettivamente la permeabilità e la permittività interne al modello, vale la seguente relazione tra l'impedenza del vuoto e quella dell'elettrone:

Z₀/Z=(α/2π)     (18.5)

essendo Z=(1/4π)(µ/ε)^1/2 (vedi eq.17.17) l'impedenza caratteristica dell'elettrone, mentre Z₀=(1/4π)(µ₀/ε₀)^1/2 è quella del vuoto (vedi eq.18.4) e dove α=e²/(2hε₀c) è la costante adimensionale di struttura fine (pari a circa 1/137).

Siamo finalmente in grado di calcolare gli effetti della interazione del modello e.m. dell'elettrone esteso con lo spazio vuoto; a tale scopo introduciamo un nuovo circuito elettrico equivalente che rappresenta questo tipo di interazione:

Come già descritto nel post "Il circuito e.m. equivalente del modello" il generatore di corrente I e il circuito connesso LC rappresentano il modello e.m. dell'elettrone; mentre il circuito L₀C₀ rappresenta l'impedenza del vuoto che è in interazione con la spira elementare di lunghezza* λ: ciò significa che i valori di L₀ e C₀ sopra definiti per unità di lunghezza (vedi eq.18.1 e eq.18.2) vanno moltiplicati per λ per ottenere i valori di L₀ e C₀:

L₀=λL₀=µ₀λ/4π     (18.6)
C₀=λC₀=4πε₀λ.     (18.7)

Nota: il valore di Z₀=(L₀/C₀)^1/2=(L₀/C₀)^1/2 (vedi eq.18.3) resta invariato (dato che il termine λ si semplifica nel rapporto).

Ora è noto che quando gli elementi e.m. di un circuito elettrico sono connessi in parallelo l'ammettenza equivalente del circuito (cioè l'inverso dell'impedenza) si calcola così:

1/Z_p=1/Z+1/Z₀     (18.8)

da cui sostituendo il valore di Z₀=Z(α/2π) (vedi eq.18.5) si ottiene:

Z_p=Z/(1+2π/α)     (18.9)

che rappresenta l'impedenza equivalente del circuito in parallelo.

Ciò significa che l'energia totale dell'elettrone privo di interazione, così definita nel precedente post (vedi eq.17.16):

mc²=ø_mI+eZI

risulta minore durante l'interazione col vuoto: infatti nel circuito e.m. equivalente (sopra indicato) l'energia è pari a

mc²=ø_mI+eZ_pI=ø_mI+eZI/(1+2π/α)     (18.10)

dove mc² è l'energia dell'elettrone in interazione col vuoto, mentre Z_p=Z/(1+2π/α) (vedi eq.18.9) è l'impedenza in parallelo.
Nota: come vedremo in un prossimo post l'energia dissipata dalla configurazione e.m. dell'elettrone quando è in interazione (pari a ∆E=mc²-mc²) è impiegata nel variare i valori di permittività e permeabilità del modello.

Infine se si ricorda che ø_mI=m₀c² (vedi eq.3.2) e che per definizione ZI=V (eq.17.15) si ha per l'energia dell'elettrone:

mc²=m₀c²+eV/(1+2π/α)     (18.11)

dove risulta eV/(1+2π/α)<<eV e quindi mc²≈m₀c² (essendo eV=ø_mI secondo la eq.10.9) cioè l'energia dell'elettrone è circa quella dovuta alla massa nuda m₀ in assenza di campo e.m..
 
In defintiva per quanto visto sopra m₀c² rappresenta l'energia dell'elettrone in assenza di campo, mentre la componente

eV/(1+2π/α)     (18.12)

descrive l'energia dovuta al campo e.m. dell'elettrone in interazione col vuoto**.
Nota: per chiarimenti sul campo e.m. dell'elettrone vedi il post "Perché un modello esteso dell'elettrone?".

(*) In realtà come visto nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" il centro di carica dell'elettrone, lungo cui supponiamo avvenga l'interazione dinamica con lo spazio vuoto, è posto nel riferimento di tipo tempo; perciò per definire l'induttanza e la capacità del vuoto (in interazione col modello e.m.) dobbiamo considerare il periodo T di rotazione su se stessa della carica elettrica (in x=0), da cui deriva il parametro di interazione λ=cT (vedi eq.2.2).
(**) È noto che il momento magnetico dell'elettrone non dipende dal mezzo nel quale viene misurato (cioè dalla sua permittività e permeabilità), quindi il circuito equivalente del modello in interazione col vuoto è da intendersi come rappresentazione e.m. dell'elettrone ma è invariante in altri mezzi diversi dal vuoto.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

INDICE DEI POST