17 - Il circuito e.m. equivalente del modello

Come è stato mostrato nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" il modello dell'elettrone è descritto dalle due seguenti equazioni che legano tra loro i campi e.m.. La prima equazione (vedi eq.11.13):

J_m(x)=(1/i2π)rotB(y,t)

definisce il campo statico, nel riferimento di tipo spazio (in t=0) rispetto al centro di carica magnetica, mentre la seconda equazione (vedi eq.11.12):

J(t)=(1/i2π)∂B(x,t)/∂t

descrive il campo dinamico, nel riferimento di tipo tempo (con x,y=0) rispetto al centro di carica elettrica.
Nota: nelle equazioni riportate sopra ricordiamo che J_m=V_m/S (vedi eq.11.4), J=V/S (eq.11.2) e B=ø_m/S (eq.5.1) mentre V=ø_m/T (vedi eq.10.3) e V_m=ø_m/λ (eq.10.5) sono le f.e.m. indotte che agiscono sulle relative cariche elettrica/magnetica.

Quindi per definire l'energia complessiva del modello dell'elettrone nello spazio-tempo dobbiamo considerare entrambi i campi e.m.: statico per la carica magnetica e dinamico per la carica elettrica. Perciò considerando le cariche e i rispettivi potenziali a cui esse sono sottoposte si ottiene (in modulo poiché le fasi nel modello non hanno significato fisico):

E_tot=e_mV_m+eV     (17.1)

ma possiamo anche scrivere, essendo e_mV_m=eV  (vedi eq.10.7) e ø_mI=eV (vedi eq.10.9):

E_tot=ø_mI+eV     (17.2)

dove ø_mI è l'energia statica della spira di corrente (vedi eq.3.2) mentre eV è l'energia del campo dinamico (vedi eq.10.3).
Nota: ricordiamo che ø_m=h/e (vedi eq.3.3) è il flusso magnetico, I=e/T (eq.3.4) è la corrente elettrica mentre V=ø_m/T (eq.10.3) è la f.e.m. che fa ruotare la carica lungo la spira elementare di corrente del modello.

Inoltre poiché risulta ø_mI=m₀c² (vedi eq.3.2) possiamo fare la seguente ipotesi che ci permette di calcolare l'energia dell'elettrone prima che esso interagisca con lo spazio vuoto (vedi oltre). Supponiamo cioè che l'energia totale dell'elettrone sia (in accordo con la eq.17.2):

mc²=m₀c²+eV     (17.3)

dove mc² è l'energia dell'elettrone in quiete, m₀c² è l'energia della massa nuda (cioè in assenza di campo e.m.) mentre eV rappresenta l'energia del campo e.m. dell'elettrone (in assenza di interazioni col vuoto).
Nota: per chiarimenti sull'elettrone e il suo campo e.m. vedi il post "Perché un modello esteso dell'elettrone?".

Al fine di calcolare gli effetti dovuti all'interazione col vuoto, introduciamo il seguente circuito elettrico per ipotesi equivalente al modello e.m. esteso dell'elettrone:

Come mostrato in figura nel circuito elettrico è rappresentato un generatore di corrente continua I (che rappresenta la circolazione di I lungo la spira di corrente) a cui è collegato un circuito oscillante LC in sovrapposizione elettromagnetica* che per ipotesi non emette onde e.m.. Inoltre l'induttanza L e la capacità C sono costanti e sono così definite:

L=ø_m/I=hT/e²     (17.4)
C=e/V=e²T/h     (17.5)

essendo ø_m=h/e (vedi eq.3.3) , I=e/T (eq.3.4) e V=ø_m/T (eq.10.3).

Si noti che è anche possibile esprimere L e C in funzione della permeabilità magnetica µ=4πh/ce² (vedi eq.5.3) e della permittività elettrica ε=e²/(4πhc) (eq.5.5) interna al modello (vedi il relativo paragrafo), infatti risulta:

L=hT/e²=µλ/4π     (17.6)
C=e²T/h =4πελ     (17.7)

dove λ=cT (vedi eq.2.2) (per verifica si sostituiscano i valori di µ ed ε e si ottengono la eq.17.4 e la eq.17.5).
Si osservi inoltre che il prodotto LC definisce la seguente relazione (vedi eq.17.4 e eq.17.5):

LC=T²     (17.8)

che ci sarà utile qui di seguito.

Possiamo mostrare che l'equazione che regola le oscillazioni di corrente del circuito LC è analoga al caso classico:

(1/i2π)²d²I(t)/dt²-I(t)/LC=0     (17.9)

dove il fattore (1/i2π) è dovuto alla definizione dell'operatore Derivata del modello (vedi eq.8.8): infatti poiché V(t)=e(t)/C ed essendo per la eq.10.2 V(t)=(1/i2π)∂ø_m(t)/∂t (con ø_m=LI) applicando le leggi di Kirchhoff al circuito LC si ha:

e(t)/C-(1/i2π)L∂I(t)/∂t=0     (17.10)

da cui derivando rispetto al tempo si ottiene la eq.17.9 (essendo I(t)=(1/i2π)∂e(t)/∂t secondo la eq.8.11).

Anche la soluzione della eq.17.9 del circuito e.m. è analoga al caso classico infatti risulta**: 

I(t)=Icoswt+iIsinwt     (17.11)

dove w=2π/T (vedi eq.8.3) ed LC=T² (eq.17.8).

Nota: si osservi che I(t) è definita dalla eq.8.6 F(t)=Fe^iwt (con F=I) valida in generale per i valori del modello (in x,y=0).

Come nel caso classico si può mostrare che l'energia accumulata dall'induttore e dal condensatore è rispettivamente:

E_L=(1/2)ø_mI   e   E_C=(1/2)eV.     (17.12)

Infatti essendo dE_L=ø_mdI e dE_C=edV e poiché L=ø_m/I (vedi eq.17.4) e C=e/V (eq.17.5) si ottiene per sostituzione dE_L=LIdI e dE_C=CVdV quindi integrando (e poi sostituendo di nuovo i valori costanti di L e C) si ottengono le relazioni di cui sopra.

Nota: per chiarimenti sull'energia accumulata da L e C vedi il post "Condensatore e Induttore: concentratori di energia!".

Poiché nel modello esteso I(t) definisce il vettore rotante della corrente (il quale è costituito dalla somma della parte reale più quella immaginaria), per determinare l'energia complessiva del circuito LC consideriamo per ipotesi entrambe le sue componenti (in modo da considerare entrambi i contributi di energia)***:

E_LC=(1/2)ø_mI+(1/2)eV=eV     (17.13)

ricordando che vale l'equivalenza ø_mI=eV (vedi eq.10.9). Con tale ipotesi il circuito LC rappresenta correttamente l'energia di campo e.m. dinamico eV dell'elettrone (vedi eq.17.2).

Infine possiamo calcolare l'impedenza del circuito LC ricordando che la tensione ai capi dell'induttore L (che è uguale a quella misurata ai capi del condensatore C dato che i valori applicati di V e I sono gli stessi) è data dalla eq.10.2:

V(t)=(1/i2π)∂ø_m(t)/∂t=ø_m(t)/T=(L/T)I(t)     (17.14)

essendo ø_m(t)=LI(t) (vedi eq.17.4). Quindi l'impedenza caratteristica dell'elettrone può essere così definita:

Z=V/I =L/T=h/e²     (17.15)

essendo L=hT/e² (vedi eq.17.4) ed inoltre per definizione V(t)=Ve^iwt e I(t)=Ie^iwt (secondo la eq.8.6).
Nota: si osservi che 1/Z=e²/h è il quanto fondamentale di conduttanza che si riscontra nell'effetto Hall quantistico per basse temperature e forti campi magnetici (in effetti nel nostro caso B=(h/e)/S=8,824x10⁹ Wb/m² secondo la eq.12.6).

In definitiva la eq.17.3 e cioè mc²=m₀c²+eV (che rappresenta l'energia totale dell'elettrone prima di interagire con lo spazio vuoto), è ben descritta dal circuito elettrico equivalente per il quale infatti risulta:

mc²=ø_mI+eZI     (17.16)

essendo ø_mI=m₀c² (vedi eq.3.2), V=ZI (eq.17.15) e dove mc² è l'energia dell'elettrone non interagente col vuoto.

Per concludere notiamo che l'impedenza caratteristica dell'elettrone (vedi eq.17.15) si può anche esprimere come:

Z=(L/C)^1/2=(1/4π)(µ/ε)^1/2     (17.17)

ricordando che Z=L/T (vedi eq.17.15), T=(LC)^1/2 (eq.17.8) e sostituendo i valori di L e C (vedi eq.17.6 e eq.17.7).

Nel prossimo post calcoleremo gli effetti dell'interazione dell'elettrone con lo spazio vuoto introducendo l'impedenza caratteristica del vuoto ed utilizzando il suo circuito elettrico equivalente.

(*) Si suppone che alla corrente elettrica continua I del generatore, che circola lungo la spira elementare, si sovrapponga la corrente alternata I(t) del circuito LC i cui elementi sono per ipotesi in oscillazione elettromagnetica.
(**) La corrente I(t)=Icoswt+iIsinwt della eq.17.11 soddisfa l'espressione (1/i2π)²d²I(t)/dt²=I(t)/T² (vedi eq.17.9) infatti basta applicare la definizione dell'operatore Derivata (vedi eq.8.8) e ricordare che T²=LC (eq.17.8).
(***) In pratica è come se avessimo due circuiti LC con effetti sovrapposti e con correnti e tensioni sfasate di π/2:

- il primo con I(t)=Icoswt e per la eq.10.2 V(t)=(1/i2π)L∂I(t)/∂t=-(L/T)Isinwt=-Vsinwt (poiché LI/T=ø_m/T=V vedi eq.10.3);

- il secondo con I(t)=Isinwt e quindi V(t)=(1/i2π)L∂I(t)/∂t=(L/T)Icoswt=Vcoswt e perciò risulta:
E_LC=(1/2)L(Icoswt)²+(1/2)L(Isinwt)²+(1/2)C(-Vsinwt)²+(1/2)C(Vcoswt)²=(1/2)LI²+(1/2)CV² (vedi eq.17.13).

[Ricordiamo che sin(wt+π/2)=coswt e che nello spazio/tempo del modello la fase non ha significato fisico ma formale]

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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