16 - Il modello del positrone esteso

Nel post "I valori dei campi elettromagnetici del modello" abbiamo mostrato la relazione che esiste tra i moduli (i soli che hanno significato fisico nel modello) dei vettori rotanti della carica e della corrente elettrica (vedi eq.8.13):

I=e/T

dove T=λ/c (vedi eq.2.2) è il periodo di rotazione del vettore della carica lungo la circonferenza λ della spira elementare.
Nota: nel modello esteso la rotazione di un vettore è definita rispetto ai relativi riferimenti spazio/tempo: nel caso dell'elettrone la carica e la corrente elettrica sono definite nel riferimento di tipo tempo (vedi il relativo post).

Ricordiamo infatti che la corrente elettrica è così definita (vedi eq.8.11 ed eq.8.12) nel riferimento di tipo tempo (in x,y=0):

I(y,t)=(1/i2π)∂e(x,t)/∂t=e(y,t)/T 

dove per definizione risulta I(y,t)=I¢(y,t) e e(y,t)=e¢(y,t) (vedi eq.8.1) e quindi:

I¢(y,t)=e¢(y,t)/T     (16.1)

dove la fase ¢(y,t) indica lo stesso verso di rotazione di carica e corrente rispetto al tempo e da cui segue perciò I=e/T.
Nota: poiché classicamente si attribuisce lo stesso verso tra corrente e carica elettrica positiva avremmo dovuto chiamare questa configurazione positrone e non elettrone (ma è solo questione di definizioni).

È perciò naturale supporre che esista una diversa configurazione del modello in cui carica e corrente hanno versi di rotazione opposti (posto invariato il verso della carica); come vedremo di seguito ciò si verifica se invertiamo sia il segno della carica e (detto coniugazione di carica) sia quello della variabile tempo t (poiché siamo nel riferimento di tipo tempo).
Nota: di seguito applicheremo le stesse considerazioni alla corrente magnetica I_m nel riferimento duale di tipo spazio.

Si osservi infatti che applicando l'operazione di simmetria CT cioè coniugazione di carica C e inversione del tempo T (operazioni definite dal segno meno) la fase della carica resta invariata:

e(y,t)=-e¢(y,-t)<=>e¢(y,t)     (16.2)

dove abbiamo applicato la relazione di equivalenza stabilita con la eq.8.15 (per la quale si ha -¢(y,-t)<=>¢(y,t)).

Invece per quanto riguarda la corrente elettrica, applicando CT si ha I=-e/-T e quindi moltiplicando entrambi i membri per la fase ¢(y,-t) (dove il segno meno indica l'inversione di t) si ha:

-e¢(y,-t)/-T=I¢(y,-t).     (16.3)

Perciò la corrente I¢(y,-t) ha fase contraria, rispetto al tempo, a quella della corrente dell'elettrone I¢(y,t) (sopra definita), mentre il verso di rotazione della carica elettrica e¢(y,t) resta invariato (vedi eq.16.2).

Nota: il cambiamento del segno della carica elettrica è solitamente detto coniugazione di carica tuttavia nel modello esteso esso cambia (vedi il relativo post) il verso di rotazione della carica (rispetto al tempo oppure allo spazio).

 

Mostriamo quindi nelle seguenti figure le due possibil configurazioni del modello e.m. esteso: a sinistra si trova quella dell'elettrone (già mostrata nel post "Il centro di carica elettrica e magnetica") e a destra quella del positrone nel quale la corrente elettrica I(t) cambia verso mentre il verso di rotazione della carica elettrica resta invariato (come mostrato sopra):

Abbiamo quindi mostrato che per ottenere la configurazione del positrone è necessario applicare una operazione di simmetria CT (coniugazione di carica e inversione del tempo) al modello dell'elettrone nel riferimento di tipo tempo*.
Nota: l'inversione di t (segno meno) viene applicata esclusivamente al riferimento di tipo tempo della carica elettrica.

Dopo aver considerato l'inversione nel tempo della corrente elettrica I(t), consideriamo ora l'inversione nello spazio della corrente magnetica I_m(x) a cui poi applichiamo (come fatto sopra) la coniugazione della carica elettrica.

Ricordiamo infatti che la corrente magnetica nell'elettrone è stata così definita (vedi eq.9.1 ed eq.9.2):

I_m(x,t)=(1/i2π)rote(y,t)=e(x,t)/λ

che espressa in termini di fase è (essendo I_m=e/λ):

I_m¢(x,t)=e¢(x,t)/λ.     (16.4)

Perciò se invertiamo il segno della variabile x (operazione di parità P) e poi invertiamo il segno della carica elettrica e (coniugazione di carica C) si ottiene per la carica elettrica (ricordando la eq.8.14):

e(x,t)=-e¢(-x,t)<=>e¢(x,t)     (16.5)

e quindi la rotazione della carica non varia rispetto a quella dell'elettrone dove e(x,t)=e¢(x,t) (vedi eq.16.4).

Inoltre essendo I_m=-e/-λ (poiché se invertiamo il segno di x allora anche λ=∆x cambia segno), ciò significa che la fase della carica e della corrente magnetica hanno rotazioni opposte risultando:

I_m¢(-x,t)=-e¢(-x,t)/-λ=I_m¢(-x,t).     (16.6)

che infatti (rispetto allo spazio) ha rotazione opposta a quella dell'elettrone I_m¢(x,t) (vedi eq.16.4).

Nota: nel post "Le equazioni dei campi e.m. del modello esteso" abbiamo mostrato come la lunghezza λ della spira si possa rappresentare come un segmento di retta ∆x (lungo l'asse del riferimento considerato).

Perciò per ottenere la configurazione del positrone (figura di destra) da quella dell'elettrone (a sinistra) basta applicare una operazione di simmetria CP (coniugazione di carica e parità) con esito equivalente alla simmetria CT vista sopra (infatti se si ruota il positrone di 180° intorno all'asse Z si ha la stessa configurazione ottenuta sopra con CT)**:

Nota: l'inversione di parità di x e y viene applicata esclusivamente al riferimento di tipo spazio della carica magnetica.

Si noti che se nello spazio-tempo volessimo ruotare il modello dell'elettrone di 180° intorno all'asse Z, dovremmo agire sul riferimento di tipo spazio e contemporaneamente su quello di tipo tempo ma questa operazione combinata non è ammessa nello spazio/tempo interno al modello, dove possiamo trattare solo un riferimento per volta in modo esclusivo.

Nota: per chiarimenti sullo spazio/tempo (spazio oppure tempo) vedi il post "Il centro di carica elettrica e magnetica".

Per questo motivo la carica magnetica posta nel centro della spira di corrente*** (nel riferimento di tipo spazio), deve mostrare sempre lo stesso polo magnetico (definiamolo polo nord) poiché se potessimo ruotare il riferimento della carica magnetica (osservando il suo polo sud) otterremmo la configurazione e.m. estesa del positrone mutando perciò la particella (con lo stesso effetto di applicare una operazione di simmetria CP all'elettrone, come visto sopra).

Nota: quanto detto sopra è simmetricamente valido anche partendo dalla configurazione e.m. del positrone.

 

Mentre nello spazio-tempo esterno al modello, dove la rotazione completa è possibile (e quindi si possono osservare entrambe le facce della spira), le induzioni dovute ai due poli magnetici ±σ_m si annullano tra loro: ecco perché l'elettrone presenta un campo di induzione magnetica H(y) (vedi eq.14.7) di tipo statico solo nello spazio/tempo interno al modello.

Nota: la carica elettrica invece, che si trova nel riferimento di tipo tempo, mantiene la stessa polarità nello spazio-tempo esterno (poiché in questo riferimento non è definibile una spira estesa di corrente magnetica con due poli elettrici ±σ_e).

(*) Il modello del positrone si distingue da quello dell'elettrone per la diversa rotazione della corrente elettrica I rispetto alla corrente magnetica I_m ad essa concatenata e non dal verso di rotazione della carica elettrica (che resta invariato).
(**) Se nello spazio-tempo ruotiamo di 180° il positrone ottenuto con CP si ottiene la stessa configurazione derivata prima con CT con gli stessi versi dei campi e delle correnti, anche se i versi delle relative cariche in effetti non concordano: tuttavia il verso delle cariche e(y,t) e e(x,t) è ininfluente, ciò che conta è il verso reciproco concatenato di I(y,t) e I_m(x,t).

(***) È noto che ai fini degli effetti magnetici, una spira di corrente infinitesima è equivalente ad una lamina magnetica elementare, sulle cui facce sono presenti le due distribuzioni superficiali di poli magnetici ±σ_m (vedi dipolo magnetico).

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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