22 - L'energia potenziale del disco massivo
Dopo aver derivato l'energia cinetica del disco in rotazione, ricaviamo ora la sua energia potenziale utilizzando il noto teorema del viriale (versione relativistica): quindi tratteremo per ipotesi la distribuzione di massa superficiale dell'elettrone come un sistema stabile a N particelle passando poi al continuo grazie alla densità di massa*.
Nota: anche nel precedente post abbiamo introdotto, prima di passare al continuo, delle ipotetiche particelle elementari di massa mk=m0/N che compongono il disco in rotazione.
Ricordiamo che il classico teorema del viriale (non relativistico), afferma la seguente relazione tra i valori medi di un sistema stabile a molte particelle (nel nostro caso la media è calcolata sul moto periodico di rotazione del disco):
Nota: anche nel precedente post abbiamo introdotto, prima di passare al continuo, delle ipotetiche particelle elementari di massa mk=m0/N che compongono il disco in rotazione.
Ricordiamo che il classico teorema del viriale (non relativistico), afferma la seguente relazione tra i valori medi di un sistema stabile a molte particelle (nel nostro caso la media è calcolata sul moto periodico di rotazione del disco):
<Ek>=-(1/2)∑i<FiRi> (22.1)
dove <Ek> è la media nel tempo dell'energia cinetica totale delle particelle che costituiscono il sistema, mentre Fi è la forza che agisce sulla i-esima particella posta nel punto Ri rispetto ad un sistema di riferimento in quiete.
Perciò se l'energia potenziale tra la particella i-esima e quella j-esima è di questo tipo:
Perciò se l'energia potenziale tra la particella i-esima e quella j-esima è di questo tipo:
Epij=-kij/Rijn (22.2)
dove Rij è la distanza tra le due particelle (rispettivamente di massa mi e mj) e kij una costante dimensionale, allora vale la seguente relazione**:
<Ek>=-(n/2)<Ep> (22.3)
ricordando che nel caso del potenziale gravitazionale risulta n=1 e kij=Gmimj (G è la costante gravitazionale).
Nota: ciò significa che se la forza che agisce tra le particelle è di tipo gravitazionale (cioè n=1) è necessaria una energia potenziale media pari a <Ep>=-2<Ek> per confinare un sistema di particelle con energia cinetica media pari a <Ek>.
Tuttavia nel caso del modello dell'elettrone, dove il disco massivo di raggio r è in rotazione a velocità c, dobbiamo utilizzare la versione relativistica del teorema del viriale*** passando contestualmente al continuo; in particolare nella relazione tra <Ek> ed <Ep> compare il termine τ che è la densità di energia cinetica del disco in rotazione:
Nota: ciò significa che se la forza che agisce tra le particelle è di tipo gravitazionale (cioè n=1) è necessaria una energia potenziale media pari a <Ep>=-2<Ek> per confinare un sistema di particelle con energia cinetica media pari a <Ek>.
Tuttavia nel caso del modello dell'elettrone, dove il disco massivo di raggio r è in rotazione a velocità c, dobbiamo utilizzare la versione relativistica del teorema del viriale*** passando contestualmente al continuo; in particolare nella relazione tra <Ek> ed <Ep> compare il termine τ che è la densità di energia cinetica del disco in rotazione:
τ=ρ0c2-ρ(R)c2=ρ0c2-ρ0c2(1-R2/r2)1/2 (22.4)
essendo la densità del disco in quiete ρ(R)=ρ0(1-R2/r2)1/2 (vedi eq.21.7) funzione del punto R con 0<R<r (vedi eq.21.7).
Nota: la densità di energia cinetica τ è calcolata relativisticamente e può essere così definita:
τ=dEk/dS=d(m0c2-m0c2)/dS=ρ0c2-ρ(R)c2 essendo ρ0=dm0/dS=m0/πr2 (vedi eq.21.1) e ρ(R)=dm0/dS=ρ0(1-R2/r2)1/2 (eq.21.7).
Ora il teorema dimostra che la relazione tra energia cinetica Ek ed energia potenziale Ep di un tale sistema è:
Nota: la densità di energia cinetica τ è calcolata relativisticamente e può essere così definita:
τ=dEk/dS=d(m0c2-m0c2)/dS=ρ0c2-ρ(R)c2 essendo ρ0=dm0/dS=m0/πr2 (vedi eq.21.1) e ρ(R)=dm0/dS=ρ0(1-R2/r2)1/2 (eq.21.7).
Ora il teorema dimostra che la relazione tra energia cinetica Ek ed energia potenziale Ep di un tale sistema è:
Ek+∫ τ(1-R2/r2)1/2dS=-Ep (22.5)
Nota: per ogni particella del disco rigido il valore di Rij è costante perciò Epij è costante per ogni coppia (i,j) di particelle e quindi risulta <Ep>=Ep (costante) ma anche <Ek>=Ek poiché la velocità angolare w del disco non varia (vedi eq.21.3).
Calcoliamo quindi l'integrale contenuto nella eq.22.5 essendo dS=2πRdR (poiché S=πr2) con 0<R<r perciò si ha:
Calcoliamo quindi l'integrale contenuto nella eq.22.5 essendo dS=2πRdR (poiché S=πr2) con 0<R<r perciò si ha:
∫ τ(1-R2/r2)1/22πRdR=2πρ0c2(∫ (1-R2/r2)1/2RdR-∫ (1-R2/r2)RdR) (22.6)
quindi integrando tra 0 e r e ricordando che 2πρ0c2∫ (1-R2/r2)1/2RdR=m0c2 (vedi eq.21.8) si ottiene:
m0c2+2πρ0c2(r2/4)(1-R2/r2)2|0r=(2/3)m0c2-(1/2)m0c2=(1/6)m0c2 (22.7)
essendo m0c2=(2/3)m0c2 (vedi eq.21.10) e ρ0=m0/πr2 (eq.21.1).
In conclusione l'energia potenziale di legame delle particelle del disco in rotazione è (secondo la eq.22.5):
Nota: vale quindi la relazione Ek=-(2/3)Ep invece di quella derivata in meccanica classica Ek=-(1/2)Ep (vedi eq.22.3).
Si osservi però che per garantire il confinamento stabile del disco massivo in rotazione, dobbiamo supporre che il campo gravitazionale trasversale al disco, che tiene legato insieme il sistema-disco (nello spazio interno del modello), abbia un valore ben calibrato di Gij (per ogni coppia (i,j) di particelle) presumibilmente diverso dal classico valore costante di G.
Nota: nello spazio esterno al modello il valore di G dell'interazione gravitazionale resta quello definito classicamente lungo l'asse del disco (come discusso nel post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso").
Supponiamo infine che la configurazione interna del disco non sia perturbabile dallo spazio-tempo esterno del modello e perciò si mantenga stabile: consideriamo cioè un disco ideale in rotazione in una configurazione interna stabile non perturbata dall'esterno (vedi anche il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").
Nel prossimo post faremo un bilancio energetico complessivo del modello esteso dell'elettrone introducendo la sua energia di punto zero dovuta al confinamento del centro di massa rispetto al proprio riferimento di tipo spazio.
(*) Stiamo implicitamente supponendo che il sistema di particelle sia vincolato a muoversi su un piano bidimensionale nello spazio interno del modello dato che la massa è distribuita esclusivamente sulla superficie del disco in rotazione.
(**) Per la dimostrazione del teorema nell'ambito della meccanica classica vedi il post "Il Teorema del Viriale"; mentre per la versione relativistica vedi: "The Virial Theorem in Stellar Astrophysics" di George W. Collins, II - 2003 p.25 (Pdf).
(***) Supponiamo che la configurazione del disco permanga rigida durante la rotazione; ipotizziamo inoltre che la metrica del disco sia quella pseudo-euclidea, cioè non consideriamo eventuali effetti previsti dalla relatività generale sulla metrica del disco (vedi anche la nota*** del post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso").
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
INDICE DEI POST
-Ep=Ek+(1/6)m0c2=(1/2)m0c2 (22.8)
essendo Ek=(1/3)m0c2 (vedi eq.21.11).Nota: vale quindi la relazione Ek=-(2/3)Ep invece di quella derivata in meccanica classica Ek=-(1/2)Ep (vedi eq.22.3).
Si osservi però che per garantire il confinamento stabile del disco massivo in rotazione, dobbiamo supporre che il campo gravitazionale trasversale al disco, che tiene legato insieme il sistema-disco (nello spazio interno del modello), abbia un valore ben calibrato di Gij (per ogni coppia (i,j) di particelle) presumibilmente diverso dal classico valore costante di G.
Nota: nello spazio esterno al modello il valore di G dell'interazione gravitazionale resta quello definito classicamente lungo l'asse del disco (come discusso nel post "L'interazione gravitazionale dell'elettrone esteso").
Supponiamo infine che la configurazione interna del disco non sia perturbabile dallo spazio-tempo esterno del modello e perciò si mantenga stabile: consideriamo cioè un disco ideale in rotazione in una configurazione interna stabile non perturbata dall'esterno (vedi anche il post "Dallo spazio/tempo del modello allo spazio-tempo classico").
Nel prossimo post faremo un bilancio energetico complessivo del modello esteso dell'elettrone introducendo la sua energia di punto zero dovuta al confinamento del centro di massa rispetto al proprio riferimento di tipo spazio.
(*) Stiamo implicitamente supponendo che il sistema di particelle sia vincolato a muoversi su un piano bidimensionale nello spazio interno del modello dato che la massa è distribuita esclusivamente sulla superficie del disco in rotazione.
(**) Per la dimostrazione del teorema nell'ambito della meccanica classica vedi il post "Il Teorema del Viriale"; mentre per la versione relativistica vedi: "The Virial Theorem in Stellar Astrophysics" di George W. Collins, II - 2003 p.25 (Pdf).
(***) Supponiamo che la configurazione del disco permanga rigida durante la rotazione; ipotizziamo inoltre che la metrica del disco sia quella pseudo-euclidea, cioè non consideriamo eventuali effetti previsti dalla relatività generale sulla metrica del disco (vedi anche la nota*** del post "L'energia di punto zero dell'elettrone esteso").
NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.
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