21 - L'energia cinetica del disco in rotazione

Come abbiamo ipotizzato nel post "Il momento angolare dell'elettrone esteso", il disco massivo del modello dell'elettrone ruota con una velocità angolare w=2π/T (vedi eq.4.1) e quindi ha un momento angolare pari a (eq.4.3):

S=wI

dove I=(1/2)m₀r² (vedi eq.4.2) è il momento di inerzia del disco supposto rigido e di massa uniforme m₀.
Perciò essendo T=λ/c (eq.2.2) il periodo di rotazione del disco, m₀=h/λc (eq.2.3) la massa e r=λ/2π (eq.2.4) il suo raggio, sostituendo i relativi valori si ottiene (vedi eq.4.4):

S=(1/2)h/2π

che, come abbiamo già visto, rappresenta il momento angolare o spin dell'elettrone*.

Vogliamo ora stabilire com'è distribuita la massa del disco quando questo è per ipotesi in quiete sapendo che, una volta in rotazione a velocità c, si deve riottenere relativisticamente una massa uniforme m₀ di densità superficiale costante pari a

ρ₀=m₀/πr²     (21.1)

dove πr² è la superficie del disco di raggio r (vedi eq.3.6).

Nota: questa derivazione ci permetterà di ottenere l'energia a riposo e quella cinetica di rotazione dell'elettrone; inoltre essendo il disco in rotazione stabile non ci poniamo il problema della sua evoluzione dinamica dallo stato di quiete.

Supponiamo quindi che la massa del disco in quiete sia costituita da infinite particelle di massa elementare m_i0 poste a distanza R_i dal centro per cui, una volta che il disco è in rotazione, acquisiscano una massa relativistica m_i pari a

m_i=m_i0/(1-v_i²/c²)^1/2     (21.2)

dove v_i indica la velocità di rotazione della particella i-esima così definita:

v_i=wR_i     (21.3)

essendo R_i la distanza della particella dal centro del disco e w=2π/T (vedi eq.4.1) la sua velocità angolare.

Affinché, quando il disco è in rotazione, le sue particelle abbiano tutte lo stesso valore costante m_i=m_k deve risultare:

m_k=m_i0/(1-v_i²/c²)^1/2     (21.4)

(si confronti con la eq.21.2) dove si ha

v_i²/c²=R_i²/r²     (21.5)

essendo v_i=wR_i=2πR_i/T=2πcR_i/λ=cR_i/r (vedi eqq.21.3, 4.1, 2.2 e 2.4).

Possiamo quindi derivare dalla eq.21.4 il valore della massa delle particelle m_i0 del disco in quiete, in funzione della distanza R_i dal centro del disco:

m_i0=m_k(1-R_i²/r²)^1/2     (21.6)

perciò, come era lecito aspettarsi, la massa non è distribuita in modo uniforme sul disco quando esso è in quiete.
Infine passando al continuo possiamo definire la densità di massa ρ(R) in ogni punto R del disco in quiete**:

ρ(R)=ρ₀(1-R²/r²)^1/2     (21.7)

dove ρ₀=m₀/πr² (vedi eq.21.1) è la densità di massa costante del disco in rotazione e πr² (eq.3.6) la sua superficie.
Nota: si osservi che la densità del disco in quiete ρ(R)->0 per R->r (dove r è il raggio del disco); quindi la massa in quiete tende propriamente a zero sul bordo del disco dove la velocità di rotazione è per ipotesi pari a c.
 

Poiché la superficie del disco è S=πr² (vedi eq.3.6) avremo che dS=2πRdR definisce la superficie infinitesima di ogni anello di raggio R (con 0<R<r); quindi dalla densità così definita ρ(R)=dm₀/dS possiamo ricavare per integrazione di dm₀=ρ(R)dS il valore della massa m₀ in quiete del disco:

m₀=∫ ρ₀(1-R²/r²)^1/2dS=∫ ρ₀(1-R²/r²)^1/22πRdR     (21.8)

essendo ρ(R)=ρ₀(1-R²/r²)^1/2 (vedi eq.21.7); perciò risolvendo l'integrale tra 0 e r si ottiene

m₀=-2πρ₀(r²/3)(1-R²/r²)^3/2|₀^r=2πρ₀(r²/3)=(2/3)m₀     (21.9)

dove m₀ è la massa del disco in rotazione.

Quindi l'energia dovuta alla massa del disco in quiete è pari a (grazie alla eq.21.9):

E₀=m₀c²=(2/3)m₀c²     (21.10)

e poiché l'energia cinetica dell'elettrone rotante è pari alla differenza tra l'energia totale e quella in quiete*** si ha:

E_k=m₀c²-m₀c²=(1/3)m₀c²     (21.11)

supponendo che la massa dell'elettrone si possa trattare, come abbiamo fatto, come quella di un disco rigido massivo.
Nota: ricordiamo che con disco in quiete intendiamo il disco massivo in assenza di rotazione rispetto al suo sistema di riferimento posto nel centro di massa.

Nel prossimo post speculeremo sul fatto che, proprio grazie all'energia cinetica ora ricavata, sia possibile derivare anche l'energia potenziale che tiene confinata la massa del disco in rotazione.

(*) Come vedremo nel post "L'energia potenziale del disco massivo" la rotazione del disco permette alla massa distribuita sulla superficie di non collassare nel centro di massa restando però confinata grazie all'energia potenziale.

(**) Possiamo porre m_k=m₀/N dove N è il numero totale di particelle che costituiscono il disco in rotazione; mentre passando al continuo definiamo la densità di massa ρ₀=m₀/πr² (cioè dal rapporto m₀/N si passa alla densità m₀/πr²).
(***) È noto che l'energia totale relativistica di una particella è pari a E=E₀+E_k dove E₀ è l'energia a riposo mentre E_k è l'energia cinetica della particella da cui perciò segue: E_k=E-E₀.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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