21 - L'energia cinetica del disco in rotazione

Come abbiamo ipotizzato nel post "Il momento angolare dell'elettrone esteso", il disco massivo del modello dell'elettrone ruota con una velocità angolare w=2π/T (vedi eq.4.1) e quindi ha un momento angolare pari a (eq.4.3):
S=wI
dove I=(1/2)m0r2 (vedi eq.4.2) è il momento di inerzia del disco supposto rigido e di massa uniforme m0.
Perciò essendo T=λ/c (eq.2.2) il periodo di rotazione del disco, m0=h/λc (eq.2.3) la massa e r=λ/2π (eq.2.4) il suo raggio, sostituendo i relativi valori si ottiene (vedi eq.4.4):
S=(1/2)h/2π
che, come abbiamo già visto, rappresenta il momento angolare o spin dell'elettrone*.

Vogliamo ora stabilire com'è distribuita la massa del disco quando questo è per ipotesi in quiete sapendo che, una volta in rotazione a velocità c, si deve riottenere relativisticamente una massa uniforme m0 di densità superficiale costante pari a
ρ0=m0/πr2     (21.1)
dove πr2 è la superficie del disco di raggio r (vedi eq.3.6).
Nota: questa derivazione ci permetterà di ottenere l'energia a riposo e quella cinetica di rotazione dell'elettrone; tuttavia essendo il disco in rotazione stabile non ci poniamo il problema della sua evoluzione dinamica dallo stato di quiete.

Supponiamo quindi che la massa del disco in quiete sia costituita da infinite particelle di massa elementare mi0 poste a distanza Ri dal centro per cui, una volta che il disco è in rotazione, acquisiscano una massa relativistica mi pari a
mi=mi0/(1-vi2/c2)1/2     (21.2)
dove vi indica la velocità di rotazione della particella i-esima così definita:
vi=wRi     (21.3)
essendo Ri la distanza della particella dal centro del disco e w=2π/T (vedi eq.4.1) la sua velocità angolare.

Affinché, quando il disco è in rotazione, le sue particelle abbiano tutte lo stesso valore costante mi=mk deve risultare:
mk=mi0/(1-vi2/c2)1/2     (21.4)
(si confronti con la eq.21.2) dove si ha
vi2/c2=Ri2/r2     (21.5)
essendo vi=wRi=2πRi/T=2πcRi/λ=cRi/r (vedi eqq.21.3, 4.1, 2.2 e 2.4).

Possiamo quindi derivare dalla eq.21.4 il valore della massa delle particelle mi0 del disco in quiete, in funzione della distanza Ri dal centro del disco:
mi0=mk(1-Ri2/r2)1/2     (21.6)
perciò, come era lecito aspettarsi, la massa non è distribuita in modo uniforme sul disco quando esso è in quiete.
Ora passando al continuo possiamo descrivere la densità di massa ρ(R) in ogni punto R del disco in quiete**:
ρ(R)=ρ0(1-R2/r2)1/2     (21.7)
dove ρ0=m0/πr2 (vedi eq.21.1) è la densità di massa costante del disco in rotazione e πr2 (eq.3.6) la sua superficie.
Nota: si osservi che la densità del disco in quiete ρ(R)->0 per R->r (dove r è il raggio del disco); quindi la massa in quiete tende propriamente a zero sul bordo del disco dove la velocità di rotazione è per ipotesi pari a c.
 
Poiché la superficie del disco è S=πr2 (vedi eq.3.6) possiamo derivare dS=2πRdR con 0<R<r e quindi possiamo ricavare dalla densità così definita ρ(R)=dm0/dS per integrazione di dm0=ρ(R)dS il valore della massa in quiete m0 del disco:
m0=∫ ρ0(1-R2/r2)1/2dS=∫ ρ0(1-R2/r2)1/22πRdR     (21.8)
essendo ρ(R)=ρ0(1-R2/r2)1/2 (vedi eq.21.7); perciò risolvendo l'integrale tra 0 e r si ottiene
m0=-2πρ0(r2/3)(1-R2/r2)3/2|0r=ρ0(r2/3)=(2/3)m0     (21.9)
dove m0 è la massa del disco in rotazione.

Quindi l'energia dovuta alla massa del disco in quiete è pari a (grazie alla eq.21.9):
E0=m0c2=(2/3)m0c2     (21.10)
e poiché l'energia cinetica dell'elettrone rotante è pari alla differenza tra l'energia totale e quella in quiete*** si ha:
Ek=m0c2-m0c2=(1/3)m0c2     (21.11)
supponendo che la massa dell'elettrone si possa trattare, come abbiamo fatto, come quella di un disco rigido massivo.
 
Nel prossimo post speculeremo sul fatto che, proprio grazie all'energia cinetica ora ricavata, sia possibile derivare anche l'energia potenziale che tiene legata la massa del disco in rotazione.

(*) Come vedremo nel post "L'energia potenziale del disco massivo" la rotazione del disco permette alla massa distribuita sulla superficie di non collassare nel centro di massa restando però confinata grazie all'energia potenziale.
(**) Possiamo porre mk=m0/N dove N è il numero totale di particelle che costituiscono il disco in rotazione; mentre passando al continuo definiamo la densità di massa ρ0=m0/πr2 passando cioè dal rapporto m0/N alla densità m0/πr2.
(***) È noto che l'energia totale relativistica di una particella è pari a E=E0+Ek dove E0 è l'energia a riposo mentre Ek è l'energia cinetica della particella da cui perciò segue: Ek=E-E0.

NB: le equazioni sono indicate col numero di post e di formula: ad esempio (1.2) indica il post n.1 e la formula n.2.

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